Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

7. Ірраціональні рівняння

Нагадаємо основні відомості про рівносильність рівнянь.

Означення. Областю визначення рівняння f(x) = g(x) називають множину D(f) ⋂ D(g).

Кожний корінь рівняння належить його області визначення. Цей факт ілюструє діаграма Ейлера (рис. 7.1).

Означення. Рівняння f₁ (x) = g₁ (x) і f₂(x) = g₂(x) називають рівносильними, якщо множини їхніх коренів рівні.

Якщо будь-який корінь рівняння f1 (х) = g₁ (х), що належить множині М, є коренем рівняння f2 (х) = g₂ (х), а будь- який корінь рівняння f₂(x) = g₂(x), що належить множині М, є коренем рівняння f₁ (х) = g₁ (х), то такі два рівняння називають рівносильними на множині М.

Наприклад, рівняння х² - 1 = 0 і х + 1 = 0 рівносильні на множині (-∞; 0).

Рис. 7.1

Теорема 7.1. Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 7.2. Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Означення. Якщо множина розв’язків першого рівняння є підмножиною множини розв’язків другого рівняння, то друге рівняння називають наслідком першого рівняння.

На рисунку 7.2 означення рівняння-наслідку проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера.

Зазначимо, що коли два рівняння є рівносильними, то кожне з них є наслідком другого.

Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями даного рівняння, називають сторонніми коренями даного рівняння.

Якщо під час розв’язування рівняння рівносильність було порушено й відбувся перехід до рівняння-наслідку, то отримані при цьому сторонні корені, як правило, можна виявити за допомогою перевірки.

Розглянемо функцію у = х³. Вона є зростаючою, а отже, оборотною. Через це функція у = х³ кожного свого значення набуває тільки один раз. Іншими словами, із рівності

випливає, що x₁ = х₂. Оскільки з рівності x₁ = х₂ випливає, що то можна стверджувати таке: якщо обидві частини рівняння піднести до куба, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до сьомого степеня. Отримаємо рівносильне рівняння:

Звідси

Відповідь: -1; 2.

Рис. 7.2

Рівняння, розглянуте в прикладі 1, містить змінну під знаком кореня. Такі рівняння називають ірраціональними.

Ось ще приклади ірраціональних рівнянь:

Оскільки функція у = х^2k-1, k ∈ ℕ, є оборотною, то міркування, використані під час розв’язування прикладу 1, можна узагальнити у вигляді такої теореми.

Теорема 7.3 Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Доведення. Покажемо, що рівняння

f(x) = g(x) (1)

і

(f(x))^2k-1 = (g(x))^2k-1, k ∈ℕ (2)

є рівносильними.

Нехай число а — корінь рівняння (1). Тоді маємо правильну числову рівність f(a) = g(a). Звідси можна записати:

(f(а))^2k-1 = (g(а))^2k-1.

Це означає, що число а є коренем рівняння (2).

Нехай число β — корінь рівняння (2). Тоді отримуємо, що (f(β))^2k-1 = (f(β))^2k-1. Оскільки функція у = x^2k-1, k ∈ ℕ, є оборотною, то f(β) =g(β). Отже, число β — корінь рівняння (1).

Ми показали, що кожний корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2) і, навпаки, кожний корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). Це означає, що рівняння (1) і (2) рівносильні.

Розв’язуючи приклад 1, ми спрощували вирази виду де n — непарне натуральне число. Розглянемо випадок, коли n — парне натуральне число.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

(3)

Розв’язання. Природно замінити це рівняння таким:

3х + 4 = х - 2.

Звідси х = -3.

Але перевірка показує, що число -3 не є коренем початкового рівняння. Отже, рівняння (3) не має коренів. Причина появи стороннього кореня полягає в тому, що застосування формули призводить до розширення області визначення рівняння. Таким чином, рівняння (4) є наслідком рівняння (3).

Ще однією причиною появи сторонніх коренів під час розв’язування ірраціональних рівнянь є необоротність функції у = x^2k, k ∈ ℕ означає, що з рівності не обов’язково випливає, що х₁ = х₂. Наприклад, (-2)⁴ = 2⁴, але -2 ≠ 2. Водночас із рівності x₁ = х₂ випливає рівність

Наведені міркування підказують, що справедливою є така теорема.

Теорема 7.4. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримуємо рівняння, яке є наслідком даного.

Скориставшись ідеєю доведення теореми 7.3, доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Підносячи обидві частини рівняння до квадрата, отримаємо рівняння, яке є наслідком даного:

4 + 3х = х²;

х² - 3х - 4 = 0;

x₁ = -1, х₂ = 4.

Перевірка показує, що число -1 є стороннім коренем, а число 4 задовольняє дане рівняння.

Відповідь: 4.

Коли йдеться про перевірку як етап розв’язування рівняння, неможливо уникнути проблеми її технічної реалізації. Наприклад, число є коренем рівняння

Про те щоб у цьому переконатися, потрібно виконати значну обчислювальну роботу.

Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв’язування — метод рівносильних перетворень.

Теорема 7.5. Рівняння виду рівносильне системі

Скориставшись ідеєю доведення теореми 7.3, доведіть цю теорему самостійно.

Зауваження. Рівняння також рівносильне системі

Вибір відповідної системи, як правило, пов’язаний з тим, яку з нерівностей, f(х) > 0 або g(x) > 0, розв’язати легше.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі

Звідси

Відповідь: 2 + .

Теорема 7.6. Рівняння виду рівносильне системі

Скориставшись ідеєю доведення теореми 7.3, доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі

Звідси

Відповідь:

Теореми 7.5 і 7.6 можна узагальнити, керуючись таким твердженням: якщо а ≥ 0 і b ≥ 0, то з рівності а^2k = b^2k, k ∈ ℕ, випливає, що а = b.

Теорема 7.7. Якщо для будь-якого х ∈ M виконуються нерівності f(x) ≥ 0 і g(x) ≥ 0, то рівняння f(x) = g(x) і (f(x))^2k = (g(x))^2k, k ∈ ℕ, рівносильні на множині М.

Скориставшись ідеєю доведення теореми 7.3, доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Областю визначення цього рівняння є множина

На цій множині обидві частини даного рівняння на бувають невід’ємних значень, тому дане рівняння на множині М рівносильне рівнянню

Ліва частина останнього рівняння на множині набуває невід’ємних значень. Тоді права частина, тобто 9 - 4х, має також бути невід’ємною. Звідси 9 - 4х ≥ 0; х ≤ ,

тому на множині обидві частини рівняння набувають невід’ємних значень. Отже, за теоремою 7.7 це рівняння рівносильне системі

Відповідь: 7 - 2.

ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Областю визначення даного рівняння є множина

Обидві частини даного рівняння на цій множині набувають невід’ємних значень, тому дане рівняння на множині М рівносильне рівнянню

Звідси

Скориставшись теоремою 7.7, отримуємо:

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розкладемо квадратні тричлени, які стоять під радикалами, на множники:

Тепер важливо не зробити поширену помилку, яка полягає в застосуванні теореми про корінь із добутку в такому вигляді:

Насправді записана формула має місце лише для а ≥ 0 і b ≥ 0, а якщо а ≤ 0 і b ≤ 0, то

Рис. 7.3

Оскільки областю визначення даного рівняння є множина (рис. 7.3), то воно рівносильне сукупності двох систем та одного рівняння.

Зрозуміло, що ця система розв’язків не має.

3) х + 1 = 0; х = -1.

Відповідь: -1; 5.

ВПРАВИ

7.1. Розв’яжіть рівняння:

7.2. Розв’яжіть рівняння:

7.3. Розв’яжіть рівняння:

7.4. Розв’яжіть рівняння:

7.5. Розв’яжіть рівняння:

7.6. Розв’яжіть рівняння:

7.7. Розв’яжіть рівняння:

7.8. Розв’яжіть рівняння:

7.9. Розв’яжіть рівняння:

7.10. Розв’яжіть рівняння:

7.11. Розв’яжіть рівняння:

7.12. Розв’яжіть рівняння:

7.13. Розв’яжіть рівняння:

7.14. Розв’яжіть рівняння:

7.15. Розв’яжіть рівняння:

7.16. Розв’яжіть рівняння:

7.17. Розв’яжіть рівняння:

7.18. Розв’яжіть рівняння:

7.19. Розв’яжіть рівняння:

7.20. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння

7.21. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння

7.22. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний розв’язок?

7.23. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний розв’язок?