Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

8. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їхніх систем

У попередньому пункті ви ознайомилися з методами розв’язування ірраціональних рівнянь, заснованими на піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня.

Розширимо арсенал прийомів розв’язування ірраціональних рівнянь.

Насамперед звернемося до методу заміни змінної.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Нехай

Тоді х² + 3х -18 = t² -12, і дане рівняння набуває вигляду t² - 12 + 4t = 0. Звідси

Оскільки t ≥ 0, то підходить лише t = 2. Отже, дане рівняння рівносильне такому:

Звідси х² + 3х - 6 = 4; х = -5 або х = 2.

Відповідь: -5; 2.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Нехай

Тоді, підносячи до квадрата обидві частини останньої рівності, отримаємо:

Тепер дане рівняння можна переписати так: t = t² - 12. Звідси t = 4 або t = -3.

Очевидно, що рівняння не має розв’язків.

Отже, початкове рівняння рівносильне такому:

Далі,

Відповідь: 5.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки число 0 не є коренем цього рівняння, то рівняння

рівносильне даному. Нехай тоді 2t² - t - 1 = 0. Звідси t = 1 або t = -.

Маємо:

Відповідь:

Метод заміни змінних є ефективним і для розв’язування систем ірраціональних рівнянь.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Нехай

Тоді дана система набуває вигляду

Далі маємо:

Звідси

Отже, дана система рівносильна сукупності двох систем

Розв’язавши останні дві системи, отримуємо відповідь.

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Нехай

Тоді

Тепер можна записати:

Відповідь: 1; -6.

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на вираз

Отримаємо рівняння-наслідок:

Це рівняння рівносильне сукупності

Розв’яжемо друге рівняння сукупності. Його наслідком буде рівняння 2х - 5 = -1. Звідси х = 2.

Залишилося виконати перевірку. Легко переконатися, що число 2 є коренем рівняння, а число 0 — ні.

Відповідь: 2.

ВПРАВИ

8.1. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

8.2. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

8.3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

8.4. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

8.5. Розв’яжіть систему рівнянь:

8.6. Розв’яжіть систему рівнянь:

8.7. Розв’яжіть рівняння

8.8. Розв’яжіть рівняння

8.9. Розв’яжіть рівняння

8.10. Розв’яжіть рівняння

8.11. Розв’яжіть рівняння

8.12. Розв’яжіть рівняння

8.13. Розв’яжіть рівняння

8.14. Розв’яжіть рівняння

8.15. Розв’яжіть рівняння

8.16. Розв’яжіть рівняння

8.17. Розв’яжіть рівняння

8.18. Розв’яжіть рівняння

8.19. Розв’яжіть рівняння

8.20. Розв’яжіть рівняння

8.21. Розв’яжіть рівняння:

8.22. Розв’яжіть рівняння: