Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

6. Степінь з раціональним показником та його властивості

Нагадаємо означення степеня з натуральним показником:

Ви знаєте, що степінь з натуральним показником має такі властивості:

Пізніше ви ознайомилися з означеннями степеня з нульовим показником і степеня із цілим від’ємним показником:

Ці означення дуже вдалі: при такому підході всі п’ять властивостей степеня з натуральним показником залишилися справедливими й для степеня із цілим показником.

Введемо поняття степеня з дробовим показником, тобто степеня а^r, показник якого є раціональним числом виду r = , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1. Бажано зробити це так, щоб степеню з дробовим показником залишилися притаманними всі властивості степеня із цілим показником. Підказкою для потрібного означення може слугувати такий приклад.

Позначимо через х шукане значення степеня

Ураховуючи властивість (а^m)ⁿ = а^mn, можна записати:

Отже, х — це

кубічний корінь із числа 2², тобто

Таким чином,

Ці міркування підказують, що доцільно прийняти таке означення.

Означення. Степенем додатного числа а з раціональним показником г, поданим у вигляді , де m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1, називають число тобто

Наприклад,

Зауважимо, що значення степеня а^r, де r — раціональне число, не залежить від того, у вигляді якого дробу подано число r. Це можна показати, використовуючи рівності

Степінь з основою, яка дорівнює нулю, означають тільки для додатного раціонального показника.

Означення.

де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ.

Звертаємо увагу, що, наприклад, запис не має змісту.

Наголосимо, що в означеннях не йдеться про степінь для а < 0, наприклад, вираз залишився невизначеним. Разом з тим вираз має зміст. Виникає природне запитання: чому б не вважати, що

Покажемо, що така домовленість призвела б до суперечності:

Отримали, що від’ємне число дорівнює додатному числу

Функцію, яку можна задати формулою у = x^r, r ∈ ℚ називають степеневою функцією з раціональним показником.

Якщо нескоротний дріб , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n > 1, є додатним числом, то областю визначення функції є проміжок [0; +∞); а якщо цей дріб — від’ємне число, то проміжок (0; +∞).

Функція k ∈ ℕ, нічим не відрізняється від функції

Функції і k ∈ ℕ, мають різні області визначення. Так, на проміжку [0; +∞) обидві ці функції збігаються, але на проміжку (-∞) визначена лише функція

На рисунку 6.1 зображено графіки функцій

Рис. 6.1

Покажемо, що властивості степеня із цілим показником залишаються справедливими й для степеня з довільним раціональним показником.

Теорема 6.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0 і будь-яких раціональних чисел р і а виконується рівність

Доведення. Запишемо раціональні числа р і q у вигляді дробів з однаковими знаменниками:

де m ∈ ℤ, k ∈ ℤ n ∈ ℕ, n > 1.

Маємо:

Наслідок. Для будь-якого а >0 і будь-якого раціонального числа р виконується рівність

Доведення. Застосовуючи теорему 6.1, запишемо: а-^р ∙ а^р = а^-р+р = а⁰ = 1. Звідси

Теорема 6.2 (частка степенів). Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність

Доведення. Застосовуючи теорему 6.1, запишемо: аq ∙ a^p-q = a^{q + p-q} = а^р. Звідси a^p-q = а^р : a^q.

Теорема 6.3 (степінь степеня). Для будь-якого а > 0 та будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність

Доведення. Нехай р = , m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n >1, і q = , s ∈ ℤ, k ∈ ℕ, k > 1. Маємо:

Теорема 6.4 (степінь добутку та степінь частки). Для будь-яких а > 0 і b > 0 та будь-якого раціонального числа р виконуються рівності:

Доведіть цю теорему самостійно.

ПРИКЛАД 1 Побудуйте графік функції

Розв’язання. Областю визначення функції f є множина (0; +∞). Дану функцію можна задати такими умовами: f(x) = x, D(f) = (0; +∞). Графік функції зображено на рисунку 6.2.

Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетворення виразів, що містять степені з раціональним показником.

Рис. 6.2

ПРИКЛАД 2 Скоротіть дріб:

Розв’язання. 1) Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, отримуємо:

2) Маємо:

ВПРАВИ

6.1. Знайдіть значення виразу:

6.2. Чому дорівнює значення виразу:

6.3. Знайдіть область визначення функції:

6.4. Знайдіть область визначення функції:

6.5. Знайдіть значення виразу:

6.6. Чому дорівнює значення виразу:

6.7. Відомо, що а — додатне число. Подайте а у вигляді:

1) куба; 2) восьмого степеня.

6.8. Відомо, що b — додатне число. Подайте у вигляді куба вираз:

6.9. Розкрийте дужки:

6.10. Розкрийте дужки:

6.11. Скоротіть дріб:

6.12. Скоротіть дріб:

6.13. При яких значеннях а виконується рівність:

6.14. Побудуйте графік функції:

6.15. Обчисліть значення виразу:

6.16. Знайдіть значення виразу:

6.17. Розв’яжіть рівняння:

6.18. Розв’яжіть рівняння:

6.19. Доведіть тотожність:

6.20. Доведіть тотожність:

6.21. Спростіть вираз:

6.22. Спростіть вираз

6.23. Обчисліть добуток якщо

6.24. Обчисліть добуток якщо

6.25. Спростіть вираз

6.26. Спростіть вираз

6.27. Спростіть вираз