Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 15 Тригонометричні функції числових аргументів

Досі ми розглядали тригонометричні функції кутів. При цьому вирази х + sin x, cos х² не мали змісту, бо не можна до градусної міри кута дода­вати число. Не має змісту і квадрат міри кута. А розв’язування багатьох задач приводить до аналізу подібних виразів. Тому математики часто мають справу з виразами sin, cos, tg, ctg , де — не міра кута, а абстрактне число. Що ж розуміють під синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом дійсного числа?

Спочатку згадаємо дещо про вимірювання кутів. Кути можна вимірю­вати в градусах та їх менших частках: мінутах і секундах. А ще можна вимірювати кути в радіанах.

Міра кута АОВ дорівнює одному радіану (1 рад), якщо на колі з центром у вершині цього кута він ви­різає дугу AB, довжина якої дорівнює довжині радіуса кола (мал. 107).

Оскільки коло радіуса r має довжину 2r, то 360° = 2 рад. Звідси маємо: 180° = рад, 90° = рад,60° = рад, 45° = рад, 30° = рад.

Отже, градусна і радіанна міри кутів пов’язані такими залежностями:

Мал. 107

Зазначимо, що позначення градуса не можна пропускати в запису, а позначення радіана, коли йдеться про числа, а не кути, опускають.

Відповідність між деякими радіанними і градусними мірами кутів ба­жано пам’ятати.

Мал. 108

Використовуючи формулу 1 рад = ( )° ·, можна встановити відповідність між множиною дійсних чисел і множиною кутів повороту. А оскіль­ки кожному значенню деякого кута відповідає єдине значення sin (cos, tg, ctg ), то можна розглядати тригонометричні функції не лише куто­вого аргументу, а й числового.

Нехай на координатній площині дано одиничне коло і його початковий радіус ОР (мал. 108). Го­ворять, що точка А одиничного кола відповідає числу , якщо кут РОА дорівнює рад. При цьому вважають, що кут а збільшується, якщо радіус ОА рухається проти руху годинникової стрілки (кут а може бути як завгодно великим і як за­вгодно малим). Зображені на малюнку 108 точки Р, К, В, С відповідають числам 0, , , .

Синусом числа називають ординату точки одиничного кола, яка відповідає числу .

Косинусом числа називають абсцису точки одиничного кола, яка відповідає числу (мал. 109).

Приклади.

1. Числу 1 відповідає точка А одинично­го кола така, що довжина дуги РА дорівнює довжині радіуса ОР (мал. 110). Абсциса і ордината точки А дорівнюють наближено 0,54 і 0,84. Отже, cos 1≈ 0,54, sin 1 ≈ 0,84.

2. Числу 2 відповідає така точка С одиничного кола, що довжина дуги PC дорівнює 2 · ОР. Абсциса і ордината точки С дорівнюють відповідно -0,42 і 0,91 (теж наближено). Тому cos 2 ≈ -0,42, sin 2 ≈ 0,91.

Якщо кожному дійсному числу х поста­вимо у відповідність його синус (косинус), то отримаємо функцію у = sin x (у = cos х).

Розглянемо деякі властивості цих функ­цій.

Кожному дійсному числу х відпо­відає єдина точка одиничного кола, а їй — якісь певні ордината і абсциса. Тому область визначення функцій у = sin x і у = cos х — уся множина R дійсних чисел.

Оскільки sin x — ордината, а cos x — абсциса деякої точки одиничного кола (його радіус дорівнює 1), то -1 ≤ sin x ≤ 1 і -1 <cos x ≤ 1.

Мал. 109

Мал. 110

Якщо значення аргументу х збільшувати від - до , то sinх збільшуватиметься від -1 до 1. При збільшенні х від до значення sin х зменшується від 1 до -1. При подальшому збільшенні х усе повторюється. Як змінюється значення соs х із збільшенням х, дослідіть самостійно.

Оскільки числу 2 відповідає повний оберт точки одиничного кола, то числам х, х + 2, х + 4, …, х + 2n, де n — число ціле, на одиничному колі відповідає одна й та сама точка. Синуси усіх цих чисел рівні. Тому для кожного цілого значення n: sin(х + 2n) = sin х.

Так само

Відношення синуса числа до косинуса того самого числа називають тан­генсом цього числа, а обернене відношення — його котангенсом:

Оскільки на 0 ділити не можна, то tgіснує (має числове значення), коли cos ≠ 0, а ctg існує, коли sin ≠ 0. Зі зміною числа а значення tgі ctg теж змінюються, тому tg x і ctg x — це також функції від числових аргументів х. Функції sin x, cos x, tg x і ctg x називають тригонометрични­ми функціями числових аргументів. Точні значення цих функцій при деяких значеннях аргументу (0, , , , і т. п.) можна визначати, ко­ристуючись одиничним колом. їх наведено в таблиці.

Наближені значення тригонометричних функцій можна знаходити, ко­ристуючись спеціальними таблицями або калькулятором. При цьому якщо значення аргументу х задано в градусах, то перемикач Г-Р ставлять на по­значку Г, якщо ж х — абстрактне число або кут задано в радіанах, то — на позначку Р. Наприклад, значення sin1,2 знаходять за такою програмою:

результат: 0,932039, тобто sin 1,2 ≈ 0,932.

Вважають, що синус, косинус, тангенс, котангенс числа а дорівнюють відповідно синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу кута радіанів. Отже, кожне твердження про тригонометричні функції числа а рівнозначне твер­дженню про тригонометричні функції кута рад і навпаки. Зокрема, мають місце формули:

cos (-) = cos,

sin (-) = -sin,

tg (-) = -tg,

ctg (-) = -ctg .

А оскільки область визначення кожної тригонометричної функції симетрична відносно початку координат, то це означає, що функція у = cos— парна, а функції у = sin, у = tgі у = ctg — непарні.

Хочете знати ще більше?

Розглянемо, як іншим способом кожному дійсно­му числу а можна поставити у відповідність певну точку одиничного кола.

Накреслимо одиничне коло з початковим радіу­сом ОР і проведемо через Р перпендикулярно до ОР координатну пряму l, одиничний відрізок якої дорів­нює ОР (мал. 111). Уявімо, що координатна пряма намотується на одиничне коло. При цьому кожна точка координатної прямої відобразиться на деяку точку одиничного кола: на кожну точку кола — безліч точок координатної прямої. У такий спосіб кожному дійсному числу а можна поставити у відповідність певну точку одиничного кола. Ця точка одиничного кола відповідає числу .

Корисно запам’ятати, які точки одиничного кола відповідають деяким дробовим частинам числа (мал. 112).

Мал. 111

Перевірте себе

1. Що таке радіан? Скільки радіа­нів має прямий кут?

2. Що таке синус, косинус, тангенс і котангенс числа? Як їх позна­чають?

3. Яка область визначення кожної з тригонометричних функцій?

4. Яка область значень кожної з тригонометричних функцій?

5. Назвіть непарні тригономет­ричні функції.

Мал. 112

Виконаємо разом

1. Користуючись одиничним колом, знайдіть значення тригонометричних функцій чисел: 0, , , , 2.

Розв’язання. Даним числам на одиничному колі відповідають точки: Р, К, В, С, Р (див. мал. 108). їх абсциси дорівнюють відповідно: 1, 0, -1, 0, 1. Отже, cos 0 = 1, cos, = 0, соs = -1, cos = 0, соs 2 = 1.

Ординати вказаних точок дорівнюють: 0, 1, 0, -1, 0. Отже,

2. Визначте знаки тригонометричних функцій на відрізку [2; 3].

Розв’язання. Оскільки ≈ 3,14,

тобто відрізок [2; 3] належить другій чверті. У цій чверті sin> 0, cos < 0, tg< 0, ctg < 0.

3. Обчисліть:

Розв’язання. Відповідні значення синуса і косинуса знаходимо у табли­ці на с. 142. Маємо:

Виконайте усно

789. Назвіть у радіанах міри кутів: а) рівностороннього трикутника; б) рівнобедреного прямокутного трикутника; в) ромба, менша діагональ якого дорівнює стороні; г) правильного шестикутника.

790. Назвіть градусну міру кутів, заданих у радіанах.

791. Що більше:

а) 1 чи ;

б) чи 1,5?

792. Що більше:

а) sin 1чи sin 3;

б) sin 2 чи cos 2?

Відповідь поясніть.

793. Які з чисел є від’ємними: sin 2, sin 4, sin 5, cos 2, cos 3, cos 6? Відповідь аргументуйте.

794. Для яких значень х виконується рівність sin x = 1?

795. Для яких значень х:

а) sin x = -1;

б) cos x = -1?

796.Чи існують такі значення х, для яких cos x= 2,5?

Рівень А

Запишіть у радіанній мірі кути (797-798).

797.

а) 15°;

б) 30°;

в) 45°;

г) 60°;

ґ) 90°;

д) 135°;

е) 180°;

є) 270°.

798.

а) 40°;

б) 120°;

в) 105°;

г) 150°;

ґ) 75°;

д) 32°;

е) 100°;

є) 140°.

Виразіть у градусах кут, радіанна міра якого дорівнює (799-800).

799.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

ґ) ;

д) 2.

800.

а) 2;

б) 3;

в) 1,5;

г) 0,36;

ґ) 5;

д) 31,4.

801. Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:

802. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю.

803. Покажіть на одиничному колі кути:

а) 420°; 540°; 670°; 730°; 890°;

б) ; ; ; ; рад.

804. Який знак мають sin х, соs x, tg x, ctg x, якщо х дорівнює:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

805. Визначте знак виразу:

806. Обчисліть за допомогою калькулятора:

a) sin 1,5;

б) sin 2,7;

в) cos 0,8;

г) tg 1,5.

Обчисліть (807-809).

807.

808.

809.

«Алгебра щедра, вона часто дає більше, ніж у неї просять».

Ж. Д’аламбер

810.

811. Знайдіть значення виразу:

а) sin x · cos х, якщо х = , х = -;

б) sin x + cos х, якщо х =, х =-.

812. На малюнку 113 зображено дерев’яний штур­вал старовинного парусника. Запишіть радіанні міри кутів, які утворює вертикальна спиця цьо­го штурвала з кожною іншою спицею (у додат­ному напрямі). Знайдіть: а) синуси і косинуси кожного з цих кутів; б) тангенси найбільшого і найменшого кутів. (Підказка. Уявіть, що штурвал — це одиничне коло).

Мал. 113

813. Колесо обертається з кутовою швидкістю рад/с. На який кут воноповернеться за 6 с, 12 с, 0,5 хв, 1 хв?

814. З якою кутовою швидкістю (у радіанах за секунду) обертається колесо, якщо за одну хвилину воно робить 90 обертів?

Рівень Б

815. Позначте на одиничному колі точки, які (наближено) відповідають числам 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3; -4.

816. Збільшується чи зменшується значення sinх при збільшенні числа x від 0 до ? А при збільшенні х від до ?

817. Збільшується чи зменшується значення cos x при збільшенні числа х від 0 до 2? А при збільшенні х від 2 до ?

818. Збільшується чи зменшується значення tg x при збільшенні числа х від 0 до ; а при збільшенні від - до 0?

819. Що більше: a) sin 1° чи sin8°; б) sin 1 чи sin З?

820. Які з чисел ; ; ; ; ; : а) менші за 1; б) більші за 2?

821. Які з чисел sin , cos 2, tg 2, sin 3, cos 3 є від’ємними?

822. Розмістіть у порядку зростання числа: sin 0, cos 0, sin 1, cos 1, sin 2, cos 2, sin 3, cos 3.

823. Який знак має: sin 3; sin 3,1; sin 3,5; sin 7,2; sin(-2); cos 7?

824. Які знаки мають sin, cos, tg, якщо дорівнює:

825. Визначте знак виразу:

826.

827. Який знак мають sin х, соs х, tg x, ctg x, якщо:

828. Знайдіть значення виразу (з точністю до тисячних):

а) sin + cos , якщо = 2; = 0,3; =;

б) 2sin cos , якщо = 1; = 2,7; = 13;

в) 1 + tg², якщо = 0,7; = 12,5; = .

829. Обчисліть за допомогою калькулятора (з точністю до тисячних): sin 2; tg 0,5; cos 0,5; sin 3,14; sin k; sin; tg.

Обчисліть значення виразу (830-833).

830.

831.

832.

«Серед усіх наук, що відкривають шлях до піз­нання природи, найвеличнішою є математика».

С. Ковалевська

833.

834. Доведіть тотожність:

Рівень В

Знайдіть координати точок одиничного кола, які відповідають числам (835-836).

835.

836.

Точка А одиничного кола відповідає числу а. Виконайте відповідні малюн­ки і вкажіть множину дійсних чисел, які відповідають точці А(837-838).

837.

838.

Знайдіть усі числа, які відповідають даним точкам (839-840).

839.

840.

841. Побудуйте на одиничному колі точки (1-4). Установіть відповідність між побудованими точками та множиною дійсних чисел (А—Д), які цим точкам відповідають.

842. На круглій клумбі чорнобривцями засадили сектор, довжина дуги якого дорівнює довжині радіуса. Знайдіть площу ділянки, засадженої чорнобривцями, якщо радіус клумби дорівнює 3 м.

843. Знайдіть величину рівнодійної двох сил, прикладених до точки М, якщо одна з них дорівнює 5 Н, друга — 8 Н, а кут між ними становить .

844.При повному обороті зубчастого колеса друге колесо робить три оберти в протилежному напрямку.

1) На який кут повернеться друге колесо, якщо перше повернеться на:

2) На який кут повернеться перше колесо, якщо друге повернеться на:

Вправи для повторення

845. Розв’яжіть рівняння:

846. Побудуйте графік функції:

847. Знайдіть значення виразу

848. У Карпатському регіоні України розташовані найбільші площі пра­лісів Європи — територій, які впродовж сотень років залишалися практично недоторканими. Із 38 672 га пралісів букові карпатські ліси становлять 88,5 % , ялинові гірсько-карпатські ліси — 10,2 % , субаль­пійські й альпійські сланкі кущі й полонини — 0,9 %, дубово-букові і дубові передгірні закарпатські ліси — 0,4 %. Знайдіть площу кож­ного з видів пралісів Українських Карпат.