Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 16 Основні тригонометричні формули

Відомо багато тотожностей, які пов’язують різні тригонометричні функції. Найважливіші з них — співвідношення між тригонометричними функція­ми одного аргументу. Пригадаємо рівняння кола. Якщо х і у — абсциса й ордината якої-небудь точки одиничного кола, то х² + у² = 1 (мал. 114). cos і sin — абсциса і ордината деякої точки одиничного кола.

Мал. 114

Тому яке б не було дійсне число а, завжди cos² + sin² = 1. Це основна тригонометрична тотожність. Приєднавши до неї ще формули, які випливають з означення тангенса і котангенса, дістанемо такі тотожності:

Формули (4) і (5) можна довести так:

Формула (6) доводиться аналогічно. Формули (2) - (6) правильні тільки за умови, що tg чи ctg існують. Користуючись цими формулами, можна числове значення будь-якої тригонометричної функції виразити через зна­чення іншої тригонометричної функції такого самого аргументу. Але при цьому треба враховувати, якій чверті належить цей аргумент.

Приклади.

1) Знайдіть cos і tg, якщо sin= 0,6 і < a <.

Розв’язання. Оскільки cos² + sin²= 1, то

Якщо

Тому

Тоді

2) Знайдіть sin, cos і ctg , якщо

Розв’язання. Відомо, що

і — кут третьої чверті, тому:

Хочете знати ще більше?

Крім функцій sin, cos, tgі ctg до тригонометричних функцій ра­ніше відносили ще secа (секанс) і cosecа (косеканс):

Тепер ці функції використовують рідко.

Перевірте себе

1. Сформулюйте основну тригонометричну тотожність. Доведіть її.

2. Які формули пов’язують синус, косинус і тангенс або котангенс того самого числа?

3. Як пов’язані тангенс і котангенс того самого числа?

4. Чи правильно, що тангенс і котангенс того самого числа — числа одного знака?

Виконаємо разом

1. Чи правильно, що при будь-якому значенні х:

Розв’язання. Якщо < х < 2, то sin x < 0. У цих випадках

Якщо

то cos х < 0, і, отже,

Тому наведені в задачі рівності не завжди є правильними.

2. Спростіть вираз sin — tg· cos.

Розв’язання.

3. Знайдіть значення виразу

якщо tg= 2.

Розв’язання. Винесемо в чисельнику і знаменнику cos за дужки:

Підставимо значення tg= 2 і отримаємо:

Доведіть тотожність sin⁴+ cos⁴= 1 - 2sin²cos².

Розв’язання. У лівій частині тотожності виділимо повний квадрат. Для цього додамо і віднімемо вираз 2sin² cos².

Тоді sin⁴ + cos⁴ = sin⁴ + cos⁴ + 2sin² cos² - 2sin²cos² = (sin⁴ + 2sin²cos² + cos⁴) - 2sin²cos² = (sin² + cos²)² - 2sin²cos² = 1 - 2sin²cos².

Права частина тотожності дорівнює лівій. Отже, тотожність доведено.

Виконайте усно

Спростіть вираз (849-851).

849.

850.

851.

Рівень А

Спростіть вираз (852-855).

852.

853.

854.

855.

Доведіть тотожність (856-858).

856.

857.

858.

859. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а значення виразу не залежить від :

860. Відомо, що кут — гострий. Обчисліть значення:

а) cos, якщо sin = ;

б) tg, якщо cos = ;

в) sin, якщо cos = ;

г) ctg, якщо tg = 4.

861. Знаючи, що sin = , обчисліть значення cos, tgі ctg за умови, що:

а) 0 <<;

б) < <.

862. Знаючи, що cos= 0,8, обчисліть значення sin, tgі ctgза умови, що:

а) 0 < <;

б) - < а < 0.

Рівень Б

Спростіть вираз (863-867).

863.

864.

865.

866.

867.

Доведіть тотожність (868-869).

868.

869.

870. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а значення виразу не залежать від а:

За заданим значенням функції знайдіть значення всіх інших тригономет­ричних функцій (871-872).

871.

872.

873. Знайдіть значення виразу

якщо:

874. Обчисліть якщо:

Рівень В

875. Доведіть тотожність (875-876).

876.

877. Відомо, що sin a + cos a = 0,6. Обчисліть:

a) sin a cos a;

б) tg a + ctg a;

в) sin⁴ a + cos⁴ a;

г) sin³ a + cos³ a.

878. Відомо, що tg a + ctg a = 2,4. Обчисліть:

a) tg²a + ctg²a;

б) sin a cos a;

в) tg³a + ctg³a;

г) (sin a + cos a) .

879. Спростіть вираз:

якщо

якщо

якщо

якщо

880. Спростіть вираз:

якщо

якщо

якщо

якщо

881. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

882. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

«У математиці слід пам’ятати не формули, а процеси мислення».

В. П. Єрмаков

Вправи для повторення

883. Побудуйте графік функції у = 9 - х². При яких значеннях х вона зростає, при яких — спадає? Знайдіть її нулі і найбільше значення.

884. Спростіть вираз:

885. Розв’яжіть рівняння: