Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Микола Андрійович ЧАЙКОВСЬКИЙ (1887-1970)

Український математик, педагог, письменник. Мав значні наукові здобутки в галузі математики. Автор понад 60 наукових праць. Серед них підручники «Тригонометрія» (1921), «Чотирицифрові таблиці логарифмів і тригонометричних функцій» (1917, 1931). Значний внесок зробив у справу створення української математичної термінології та впорядкування української математичної бібліографії.

Одні кажуть, що всі наукові терміни треба вживати так, як вони прийнялися в інших європейських мовах; зате другі раді б конче кожне слово за всяку ціну перекласти на українське. Ми далекі від того, щоб підписатися під другою крайністю: …багато чужих слів здобуло собі в іншій мові право громадянства, й ми зовсім не маємо потреби їх викидати…

М. А. Чайковський

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

• Радіанне вимірювання кутів

• Тригонометричні функції числового аргументу

• Періодичність функцій

• Властивості та графіки тригонометричних функцій

• Тригонометричні формули

• Встановлювати відповідність між дійсними числами і точками на одиничному колі

• Виконувати перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки

• Формулювати означення і властивості тригонометричних функцій

• Будувати графіки періодичних функцій та ілюструвати їхні властивості

• Перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їхні значення

Навчальний проект № 3. ПЕРІОДИЧНІ ПРОЦЕСИ У ТЕХНІЦІ ТА ПЕРІОДИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ У МИСТЕЦТВІ

§ 14 Синус, косинус, тангенс і котангенс кута

У житті ми часто стикаємося з процесами, які відбуваються з певною періодичністю. Скажімо, на зміну зимі приходить весна, на зміну весні — літо, на зміну літу — осінь, на зміну осені — зима, знову весна і все повторюється з року в рік. Так само змінюються ранок, день, вечір і ніч. Періодичні процеси відбуваються в багатьох механізмах (рух поршня, маятника) і живих організмах (пульсація серця, дихання).

Мати справу з процесами, які періодично повторюються, доводиться багатьом фахівцям. Моделювати такі процеси найзручніше за допомогою синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Їх разом називають тригонометричними функціями. Ця назва походить від назви давньої науки «тригонометрія». Раніше тригонометрію найчастіше використовували для розв’язування трикутників, а за їх допомогою — розв’язування багатьох геометричних і геодезичних задач. У XX ст. такі задачі навчилися розв’язувати іншими способами і засобами, навіть простішими і точнішими, тому тепер тригонометрія втратила попередню цінність і її не відносять до сучасних наук. Але поняття синус, косинус, тангенс і котангенс у різних науках продовжують відігравати важливу роль. Особливо, коли йдеться про різні обертальні рухи, періодичні процеси та явища.

Дещо про ці функції ви вже знаєте з уроків геометрії. Згадаймо, наприклад, теореми косинусів і синусів.

Зверніть увагу! У геометрії розглядають sin, cos, tg, ctg за умови, що — кут трикутника або опуклого многокутника, тобто коли 0° << 180°. Досліджуючи періодичні процеси, під розуміють кут повороту (обертання). А він може бути як завгодно великим і як завгодно малим — додатним і від’ємним.

Повороти в напрямку руху годинникової стрілки домовилися вважати від’ємними, а в протилежному — додатними. Наприклад, повернути корбу на 720°, на -540° — це означає повернути її, як показано на малюнках 96 і 97.

Одному, двом, трьом, …, n обертам відповідають кути 360°, 720°, 1080°, …, 360° n.

Введемо поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь-якого кута. Зробимо це за допомогою одиничного кола.

Мал. 96

Мал. 97

Мал. 98

Якщо центром кола є початок координат, а його радіус дорівнює 1, то таке коло називають одиничним колом.

Нехай на координатній площині дано одиничне коло і його початковий радіус ОР (мал. 98). Говорять, що точка А одиничного кола відповідає куту , якщо ∠ РОА = . Зображені на малюнку 99 точки Р, А, В, С, D, Е, F, Р відповідають кутам 0°, 60°, 90°, 135°, 180°, 270°, 300°, 360°.

Синусом кута а називають ординату точки одиничного кола, яка відповідає куту .

Косинусом кута а називають абсцису точки одиничного кола, яка відповідає куту .

Тангенсом кута а називають відношення синуса кута а до його косинуса.

Котангенсом кута а називають відношення косинуса кута а до його синуса.

Синус, косинус, тангенс і котангенс кута а позначають відповідно символами sin , cos , tg, ctg .

Приклади.

1. Куту 135° на одиничному колі відповідає точка С з абсцисою - і ординатою — (мал. 99).

Тому cos 135° = - , sin 135° = , tg 135° = -1, ctg 135° = -1.

2. Куту -90° на одиничному колі відповідає точка Е(0; -1). Томуcos(-90°) = 0, sin(-90°) = -1, ctg(-90°) = 0, tg(-90°) не існує.

Тангенс кута а має значення (тобто існує) тоді і тільки тоді, коли cos ≠ 0, адже ділити на 0 не можна. Котангенс кута а має значення тільки за умови, що sin ≠ 0.

Значення sin, cos, tg, ctg деяких кутів а наведено в таблиці на форзаці.

Наближені значення тригонометричних функцій будь-яких кутів можна знаходити за допомогою калькулятора або спеціальних таблиць (див. форзац 4).

Кожному значенню кута а відповідає єдине значення sinа. Значення sinа залежить від значення а. Тому sin — функція від а. Функціями від є також cos , tg, ctg . Усі ці чотири функції докладніше розглянемо далі, а тут звернемо увагу тільки на їх найважливіші властивості.

Нагадаємо, що sin— це ордината точки А одиничного кола, яка відповідає куту а (мал. 100).

Мал. 99

Мал. 100

Якщо АН — перпендикуляр, опущений з точки А на вісь х, то довжина відрізка АN — це синус кута , а ОН — косинус кута .

Якщо точка А розміщується у І або II координатній чверті, то її ордината — додатна. Ординати точок, які розміщуються у III або IV чверті — від’ємні. Говорять, що у І і II чвертях синус кута а додатний, а в III і IV — від’ємний.

Згадайте означення косинуса, тангенса і котангенса кута а і поясніть, які знаки мають ці функції в кожній із чотирьох чвертей.

На малюнку 101 показано знаки тригонометричних функцій кутів різних координатних чвертей.

Мал. 101

Якщо кут а збільшується від 0° до 90°, то значення sin а збільшується від 0 до 1. Якщо а збільшується від 90° до 180°, то значення sin зменшується від 1 до 0. Якщо а збільшується від 180° до 270°, то значення sinзменшується від 0 до -1. Якщо а збільшується від 270° до 360°, то значення sin a збільшується від -1 до 0. Отже, для будь-якого значення :

-1 ≤ sin ≤ 1

-1 ≤ cos ≤ 1

Якщо кут продовжувати збільшувати, то всі ці властивості повторяться, тобто завжди: sin = sin(+ 360°) = sin(- 360°) = sin( + 720°).

Взагалі, яким би не був кут і ціле число n, то:

sin ( + 360° ∙ n) = sin

cos ( + 360° ∙ n) = cos

tg (+ 360° ∙ n) = tg

ctg ( + 360° ∙ n) = ctg

Ці співвідношення дають можливість звести знаходження значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь-якого кута до знаходження їх значень для невід’ємного кута, меншого від 360°.

Наприклад, треба обчислити cos 1860°. Поділивши 1860 на 360, дістанемо частку 5 і остачу 60.

Отже, cos 1860° = cos (360° ∙ 5 + 60°) = cos 60° = 0,5.

На одиничному колі точки А і A₁, які відповідають кутам а і —, розміщені симетрично відносно осі х (мал. 102), а тому мають однакові абсциси і протилежні ординати.

Мал. 102

Отже, яким би не був кут , правильні тотожності:

Користуючись ними, можна порівняно легко обчислювати значення тригонометричних функцій від’ємних кутів.

Приклади.

Перевірте себе

1. Що таке синус кута ? Чому він може дорівнювати?

2. Яких значень у виразі cos, tg, ctg може набувати а?

3. Сформулюйте означення косинуса кута.

4. За яких умов косинус кута є додатним? За яких — від’ємним?

5. Що таке тангенс кута? А котангенс?

6. При яких значеннях а його тангенс не існує? А котангенс?

7. Як змінюється синус (косинус) кута, якщо кут збільшується: а) від 0° до 90°; б) від 90° до 180°?

Виконаємо разом

1. Обчисліть:

sin 60° - 2 sin 90° ∙ cos 60° + 0,5 tg 45°.

Розв’язання. Відповідні значення синуса і косинуса знаходимо в таблиці (форзац 2). Маємо:

2. Що більше: sin 20° чи соs 20°?

Розв’язання. Якщо ∠ МОН = 20°, то ∠ ОМН = 70° (мал. 103). Оскільки в трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, то ОН > МН. Отже, соs 20° > sіn 20°.

3. Знайдіть знак виразу Р = sin 130° соs 210° tg 380°.

Розв’язання. Куту 130° відповідає точка А одиничного кола, яка розміщується в II чверті (мал. 104), тому sin 130° > 0. Куту 210° відповідає точка В III чверті, тому соs 210° < 0. Куту 380°відповідає точка С, яка лежить у І чверті, тому tg 380° > 0.

Мал. 103

Мал. 104

Добуток двох додатних чисел і від’ємного — число від’ємне. Тому Р < 0.

Відповідь. Р < 0.

4. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 2sin + 3.

Розв’язання. Оскільки - 1 ≤ sin≤ 1, то -2 ≤ 2sin≤ 2, тоді -2 + 3 ≤ 2sin + 3 ≤ 2 + З, тобто 1 ≤ 2sin + 3 ≤ 5. Отже, найменше значення виразу дорівнює 1, а його найбільше значення дорівнює 5.

5. Користуючись калькулятором, обчисліть ctg 42°13'.

Розв’язання. Обираємо градуси

Відповідь. Ctg 42°13' ≈ 1,1022.

Виконайте усно

726. Дивлячись на прямокутний трикутник АВС (мал. 105), скажіть, чому дорівнюють синус, косинус, тангенс і котангенс кутів А, В і С.

727. Чи може абсциса або ордината точки одиничного кола дорівнювати 2?

728. Чи може синус або косинус кута дорівнювати 2? А -2?

729. може синус кута, меншого від 180°, бути числом від’ємним? А косинус?

730. Тангенс якого кута дорівнює 1? А -1?

731. Чому дорівнюють синус, косинус, тангенс і котангенс прямого кута? А кута 45°?

732. Якій чверті належить кут у 100°, 150°, 200°, 250°, 300°, 350°?

733. Знайдіть міру гострого кута х, якщо: а) sin х = 0,5; б) 2соs х = .

Мал. 105

Рівень А

734. На скільки градусів повертається годинникова стрілка протягом півдоби? А хвилинна стрілка?

735. Накресліть одиничне коло і позначте на ньому точки, які відповідають кутам: 30°, 90°, 120°, 180°, 270°, 360°, -30°, -300°.

736. Куту на одиничному колі відповідає точка

Чому дорівнюють значення sin, cos, tg, ctg ?

737. Куту на одиничному колі відповідає точка з абсцисою 0,6. Чому дорівнюють значення sin, cos, tg, ctg?

738. У якій чверті розміщується точка, яка відповідає куту:

а) 120°;

б) 73°;

в) 186°;

г) 394°;

ґ) 295°;

д) 765°;

е) 3730°;

є) 5430°?

739. У якій чверті розміщується точка, яка відповідає куту:

а) -50°;

б) -126°;

в) -291°;

г) -250°;

ґ) -400°;

д) -456°;

е) -1070°?

740. Який знак мають sin, cos, tg, ctg , якщо:

a) = 53°;

б) = 126°;

в) = 293°;

г) = -65°;

ґ) = -96°?

741. Визначте знак числа:

а) sin 98°;

б) tg 140°;

в) sin 298°;

г) tg 390°;

ґ) cos 38°;

д) ctg 33°;

е) cos 194°;

e) ctg 100°.

742. Визначте знак добутку:

а) sin 20° ∙ cos 46°;

б) sin 350° ∙ ctg 65°;

в) cos 123° ∙ tg 195°

г) tg 179° ∙ ctg 279°.

743. Визначте знак добутку:

а) sin 120° ∙ cos 155° ∙ tg 85°;

б) sin 320° ∙ cos 55° ∙ ctg 85°;

в) ctg 124° ∙ cos 115° ∙ tg 35°;

г) ctg 125° ∙ cos 77° ∙ tg 305°.

744. Кутом якої чверті є кут , якщо:

а) sin > 0, cos> 0;

б) cos < 0, tg > 0;

в) sin < 0, cos> 0;

г) ctg< 0, sin> 0?

745. Замість * поставте знаки >або <:

а) cos 5° * cos 7°;

б) cos 113° * cos 115°;

в) sin 82° * sin 79°;

г) tg 29° * tg 32°;

ґ) sin 178° * sin 108°;

д) tg 97° * tg 107°.

746. Як змінюється sinі cos, якщо aзбільшується від 0° до 360°? Заповніть порожні клітинки таблиці.

747. Що більше:

а) sin 20°чи sin 50°;

б) cos 40°чи cos 10°;

в) sin 20° чи sin 160°;

г) cos 10° чи cos 100°?

748. Обчисліть:

а) sin 30° + cos 0°;

б) cos 60° - sin 45°;

в) sin 45° ∙ cos 45°;

г) 2sin 60° ∙ cos 60°.

749. Обчисліть значення виразу:

а) sin 45° - cos 60° ∙ cos 90° + sin 60°;

б) sin 30° ∙ cos 30° - sin² 45° ∙ tg 60°;

в) cos 30° ∙ sin 60° - tg 45° ∙ ctg 45° ∙ sin 30°;

г) tg 30° ∙ sin 60° + sin 30° ∙ tg 45° + sin 90°.

Знайдіть значення виразу (750-751).

750.

a) cos + 3sin, якщо = 45°;

б) sin β + sin 2β + sin Зβ, якщо β = 60°.

751.

a) sin y + 2 cos y + 3 tg y, якщо у = 30°;

б) sin + cos( - β), якщо a = 90° і β = 30°.

752. Яке найбільше і найменше значення може мати вираз:

а) Зsin х;

б) - sin х;

в) 1 + sin x;

г) sin x - 1?

753. Установіть вид ∆ АВС, якщо:

754. Чому дорівнює синус, косинус, тангенс, котангенс кута правильного: а) трикутника, б) чотирикутника, в) шестикутника?

755. Обчисліть значення тригонометричних функцій за допомогою таблиці і перевірте результат, використовуючи калькулятор:

a) sin 12°; sin 33°; sin 72°; sin 50°;

б) cos 12°; cos 33°; cos 72°; cos 50°;

в) tg 12°; tg 33°; tg 72°; tg 50°;

г) ctg 12°; ctg 33°; ctg 72°; ctg 50°.

Користуючись калькулятором чи таблицями, обчисліть (756-758).

756.

a) sin 17°;

б) cos 35,7°;

в) tg 39,8°;

г) 3 cos 25°.

757.

a) ctg 37,8°;

б) 2,7ctg 63,7°;

в) 2 : sin 36,3°;

г) 2 + cos 49°.

758.

а) 1 + sin 25°;

б) sin 20° - cos 70°;

в) 2sin 15° cos 15°;

г) 3 + sin 47°.

Рівень Б

759. Чи може синус або косинус кута дорівнювати:

760. На малюнку 106 зображено промисловий вітрогенератор — пристрій для перетворення кінетичної енергії вітру на електричну.

1)Установіть, на який із поданих нижче кутів може повернутися лопать А вітрогенератора, щоб перейти на місце лопаті В:

а) 3360°;

б) - 4440°;

в) 6240°;

г) - 8720°.

2)Дізнайтеся більше про:

а) історію вітряків та їх використання;

б)розвиток вітроенергетики в Україні;

в)«зелені» тарифи на електричну енергію.

761. Кутом якої чверті є кут , якщо:

а) = 394°;

б) = 728°;

в) = -390°;

г) = -999°?

762. Знайдіть знак числа:

а) соs 167°;

б) соs(-1329°);

в) sin 785°;

г) sin 2354°;

ґ) tg(-386⁰);

д) tg 3817⁰;

е) ctg 2765⁰;

є) ctg(-2643°).

Мал. 106

Знайдіть знак виразу (763-764).

763.

a) sin(-100°) tg 250° ctg 365°;

6) cos(-321°) ctg 18° ctg 1829°;

в) sin(-170°) cos(-221°) ctg 126°;

г) tg 176° cos(-398°) sin(-543°).

764.

a) cos(-30°) sin 15° cos(-125°) tg 35°;

б) sin(-137°) cos(-150°) tg 22° cos 35°;

в) tg 143° sin(-165°) tg(-87°) cos(-126°);

г) cos(-32°) sin 132° cos 135° tg(-92°).

765. Обчисліть:

а) sin 30° cos 60° - cos² 60° + sin 405° cos 90°;

б) (tg 390° tg 60° - tg² 45° + 2cos 45° sin 45°)²;

в) sin 420° cos 30° - cos 60° sin 30° - 2tg 30° ctg 765°;

г) (tg 30° ctg 30° + sin 45° sin 60° cos 450°)⁶ - 3sin 90° tg 750°.

766. Знайдіть значення виразу:

a) sin З, якщо = 30°;

б) sin² - cos², якщо = 45°;

в) cos, якщо = -120°;

г) sin² + cos³, якщо = -60°.

767. Дано: = 45°, β = 15°. Знайдіть:

a) sin(+ β) sin(- β);

б) sin(+ β) cos (- β);

в) tg(- β) ctg(+ β).

768. Розв’яжіть попередню задачу, якщо = 60°, β = 30°.

769. Перевірте, чи правильна рівність:

770. Знайдіть sin і cos, якщо tg= 1, ∈ [0°; 90°]; ∈ [180°; 270].

771. Знайдіть sin і tg, якщо cos = 0,5, ∈ [0°; 90°]; ∈ [270°; 360°].

772. Знайдіть, користуючись одиничним колом:sin 0°, sin 90°, cos 90°, sin 180°, cos 180°, sin 270°, cos 270°.

773. Практичне завдання. Накресліть на міліметровому папері чверть кола радіуса 10 см, поділіть його на 30 рівних частин і складіть таблицю наближених значень синуса і косинуса кутів 3°, 6°, …, 90°.

Рівень В

774. Яких значень при різних значеннях а може набувати вираз: sin², 1 - sin², sin2, 2sin?

775. Яких значень може набувати вираз: tg, tg², tg2, 2tg, 1 + tg?

776. Куту а на одиничному колі відповідає точка

Знайдіть а, якщо:

а) ∈ [0; 90°];

б) ∈ [360°; 540°];

в) ∈ [-270°; -360°].

777. Куту β на одиничному колі відповідає точка

Укажіть три можливих значення кута β.

778. На одиничному колі зобразіть точки, для яких:

779. Знайдіть знак виразу:

а) sin 95° + tg 186°;

б) tg 382° - tg(-33°);

в) cos 197° + cos 128°;

г) sin 421° - sin(-168°).

780. Який із гострих кутів більший: а чи β, якщо:

a) sin= 0,75, sin β= 0,93;

б) cos= 0,5, cos β= 0,6?

781. При яких значеннях с можлива рівність:

а) sin= с - 2;

б) 2sin= с² - 2с - 1;

в) cos = 3 - 2с;

г) cos = с² + 5с + 3.

782. При яких значеннях m можлива рівність:

а) sin= 4 - 5m;

б) 3sin =m² - 3m - 1;

в) cos = 5 + m;

г) 0,5cos = m² + m.

Знайдіть найменше і найбільше значення виразу (783—784).

783.

784.

785. Знайдіть область значень функції:

Вправи для повторення

786. Знайдіть довжину кола і площу круга, радіус якого дорівнює:

а) 2 м;

б) 12 см;

в) 2,5 дм.

787. Задача Сунь-Цзи. Знайдіть число, яке від ділення на 3 має в остачі 2, а від ділення на 5 — в остачі 3, нарешті, від ділення на 7 — в остачі 2.

788. Побудуйте графік функції:

а) у = 4x^-2;

б) у = 4x^-2 + 1;

в) у = 6x^-1;

г) у = 6х^-1 - 2.