Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 30. ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ І ОБ’ЄМИ ТІЛ ОБЕРТАННЯ

Формули площі поверхні та об'ємів циліндра, конуса. Формули площі поверхні сфери, об'єму кулі

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якійсь твірній, а потім розгорнути її на площині, то утвориться розгортка циліндра (рис. 1).

Площею поверхні циліндра називається площа його розгортки.

Площа поверхні циліндра S_цил дорівнює сумі площ основ S_осн і бічної поверхні S_біч :

S_цил = 2S_осн + S_біч

Рис. 1

Оскільки S_біч = 2RH, S_осн = R², де R — радіус основи циліндра, Н — його висота, то

S_цил = 2RH + 2R² = 2R (R + Н) (рис. 2).

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто

V_цил = S_осн ∙ Н = R²H (рис. 2).

Рис. 2

Площа бічної поверхні конуса дорівнює півдобутку довжини кола основи на його твірну, тобто S_кон = Rl (рис. 3).

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площі основи:

S_кон = S_біч + S_осн = Rl + R² = R(R + l). (рис. 3).

Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту конуса, тобто

V_КОН = R²H (Рис. 3).

Рис. 3

Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює півдобутку суми довжин кіл основ на довжину твірної, тобто S_{біч зрк он} = l(R + r), де l—твірна, R і r—радіуси основ (рис. 4). Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні і площ основ:

S_{повн зр кон} = S_біч + R² + r² = l(R + r) + R² + r² (рис. 4).

Об’єм зрізаного конуса обчислюється за формулою:

V_{зр кон} = Н(R² + Rr + r²),

де R і r — радіуси основ, V — висота конуса (рис. 4).

Площа поверхні сфери знаходитеся за формулою

S = 4R²,

де R — радіус сфери (рис. 5).

Площа сферичного сегмента (рис. 6) обчислюєтеся за формулою

S = 2RH.

де R — радіус сфери, Н — висота сегмента.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Площа сферичного поясу (кільця) знаходиться за формулою

S = 2RН.

де R — радіус сфери, Н — висота поясу (кільця) (рис. 7).

Об’єм V кулі обчислюється за формулою

V = R³,

де R — радіус кулі (рис. 5).

Об’єм кульового сегмента обчислюється за формулою

V = H²(R - ),

де R — радіус кулі, Н — висота кульовою сегмента (рис. 6).

Рис. 7

Об’єм кульового сектора обчислюється за формулою

V = R²H,

де R— радіус кулі, Н — висота відповідного кульового сегмента (рис. 8).

Рис. 8

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює О. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра

2. Висота конуса — 4 см, твірна дорівнює 5 см. Знайдіть кут сектора, який є розгорткою бічної поверхні цього конуса.

3. Знайдіть об’єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні — квадрат зі стороною а.

4. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпотенузою 12 см. Знайдіть об’єм конуса.

5. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 11 см і 6 см, твірна дорівнює 13 см. Знайдіть об’єм конуса.

6. Площа основи конуса дорівнює S, а площа його повної поверхні — 35. Під яким кутом нахилена твірна до основи конуса?

7. Радіус кульового сектора дорівнює r, кут в осьовому перерізі дорівнює 120°. Знайдіть об’єм кульового сектора

8. У півкулі радіуса Я через середину її висоти проведено переріз, паралельний основі півкулі. Знайдіть об’єм одержаного кульового поясу.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено конус, твірна і діаметр якого дорівнюють л/з і 2. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть об’єм (у см³) куба, описаного навколо кулі, площа поверхні якої дорівнює 36 см².

11. Знайдіть об’єм (у см³) куба, описаного навколо кулі, об’єм якої дорівнює 5 см³.

12. Знайдіть висоту (у см) зрізаного конуса, об’єм якого дорівнює 91 см², а радіуси основ зрізаного конуса — 1 см і 3 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.