Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 КЛАСІВ

Тема 29. КУЛІ (СФЕРИ) ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок простору, що знаходяться наданій відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається централі). Відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр, називають діаметрам сфери. На рис. 1 О — центр сфери, ОА — радіус сфери, АВ —діаметр сфери. Сферу можна отримати в результаті обертання кола навколо його діаметра. Кулею називається тіло, утворене з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій за дану (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Кулю можна отримати в результаті обертання круга навколо його діаметра.

Будь-який переріз кулі площиною є круг, а перерв сфери площиною є коло (рис. 2). Центр круга (кола) — основа перпендикуляра, опущеного із центра кулі (сфери) на січну площину. Переріз, який проходить через центр кулі (сфери), називається великим кругом (колом).

Рис. 1

Рис. 2

Площина (пряма), яка має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку, називається дотичною площиною (прямою) (рис. 3). Дотична площина (пряма) перпендикулярна до радіуса кулі (сфери), проведеного в точку дотику. Якщо площина (пряма) проходить через точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона дотикається до сфери.

Рис. З

Кульовим сегментом називають тіло, відтяте від кулі січною площиною (рис. 4).

Кульовий сегмент обмежений кругом, який називають основою, і сферичним сегментом. Відрізок діаметра, перпендикулярного до основи кульового (сферичного) сегмента, що міститься між основою і сферою, називають висотою кульового (сферичного) сегмента.

Рис. 4

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть радіус кулі, площа великого круга якої дорівнює см².

2. Знайдіть площу великого круга кулі, радіус якої дорівнює 2 см.

3. У кулі, радіус якої 10 см. проведено переріз площиною. Знайдіть відстань від центра кулі до перерізу, якщо радіус перерізу дорівнює 6 см.

4. Куля з центром в точці О дотикається до площини а в точці А, а точка В лежить в а, ОВ = d, ∠ABO = . Знайдіть ОА.

5. Куля радіусом 5 см перетнута площиною на відстані 3 см від центра Знайдіть площу перерізу.

6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. На якій відстані від площини трикутника знаходиться центр сфери, яка має радіус 65 см і проходить через усі вершини трикутника?

7. Радіуси двох сфер дорівнюють 13 см і 15 см, а відстань між їх центрами — 14 см. Знайдіть довжину лінії, по якій перетинаються їх поверхні.

8. Діагоналі ромба дорівнюють 15 см і 20 см. Кульова поверхня дотикається до всіх сторін ромба. Радіус кулі дорівнює 10 см. Знайдіть відстань від центра кулі до площини ромба

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. На рисунку зображено кулю радіусом 5, яку перетнуто січною площиною, що знаходиться на відстані 4 від центру кулі. Установіть відповідність між геометричними величинами (1—4) та їх числовими значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Вершини трикутника лежал, на сфері радіусом 5 см. Знайдіть відстань (у см) від центра сфери до площини трикутника, якщо сторони трикутника дорівнюють 4 см, 4 см, 8 см.

11. У кулі, площа великого круга якої дорівнює 625 см², проведено січну площину. Знайдіть (у см) відстань від центра кулі до перерізу, якщо площа перерву дорівнює 225 см².

12. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 24 см, 25 см. Кульова поверхня дотикається до всіх сторін трикутника Знайдіть відстань (у см) від центра кулі до площини трикутника якщо радіус кулі дорівнює 5 см.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.