Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМАМИ ІЗ МАТЕМАТИКИ 5-9 КЛАСІВ

Тема 4. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

Цілі числа

Цілими числами називаються натуральні числа, їм протилежні числа і число 0. Множину цілих чисел позначають символом Z. Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Подання цілою числа у вигляді дробу Будь-яке ціле число а можна подати у вигляді дробу:

a = , n ∈ N, a ∈ Z.

Наприклад: 10 = = = = …

Порівняння додатних і від’ємних чисел

Будь-яке від’ємне число менше нуля і будь-якого додатного числа. Нулі ≥ менше будь-якого додатного числа.

Наприклад: -5 < 0; -5 < 1; 0 < 10.

Додавання від’ємних чисел та чисел із різними знаками

Додавання від’ємних чисел: -а + (-b) = -а - b = -(а + b), де а і b — додатні числа

Наприклад: -5 - 3 = -8.

Додавання чисел із різними знаками:

Наприклад: -10 + 2 = -(10 - 2) = -8.

Наприклад: -3 + 10 = 10 - 3 = 7.

Віднімання додатних і від’ємних чисел

Відняти від числа а число b означає додати до числа а число, протилежне b:

а - b = а + (-b).

Наприклад: 5 - 6 = 5 + (-6) = -1; -3 - (-5) = -3 + 5 = 2.

Множення додатних і від’ємних чисел

-а - b = a ∙ (-b) = - (ab), де а, b — додатні числа.

Наприклад: -3 ∙ 5 = -15; 8 ∙ (-2) = -16.

-а ∙ (-b) = ab, де а, b — додатні числа.

Наприклад: -3 ∙ (-5) = 15.

Ділення додатних і від’ємних чисел

а : (-6) = -а : b = -(а : b), де а і b — додатні числа.

Наприклад: 6 : (-2) = -3; -12 : 3 = -4.

-a: (-b) = а : b, де а і b — додатні числа.

Наприклад: -15 : (-5) = 3.

Раціональні числа

Раціональні числа — числа, які можна подати у вигляді , де m ∈ Z, n ∈ N. Множину раціональних чисел позначають символом Q.

Наприклад: -1; ; -2; 0 — раціональні числа.

Будь-яке раціональне число — нескінченний періодичний десятковий дріб.

Нескінченний десятковий періодичний дріб

Нескінченний десятковий періодичний дріб — десятковий дріб, у якому нескінченно повторюється певна група цифр. Мінімальна група цифр, яка повторюється, називається періодом. Період записується в круглих дужках.

Наприклад: = 0,333... = 0,(3); 3,060606 = 3,(06); = 0,3111... = 0,3(1).

Якщо період починається відразу після коми, то дріб називається чисто періодичним. Якщо ж період починається не відразу після коми, то дріб називається змішаним періодичним.

Перетворення нескінченного десяткового періодичного дробу у звичайний

Чисто періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, чисельник якого є період, а знаменник — цифра 9, що записана стільки разів, скільки цифр у періоді.

Наприклад: 0,(3) = = ; 0,(81) = = .

Для того щоб перетворити змішаний нескінченний періодичний дріб на звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду. Потім записати цю різницю чисельником, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, а після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр стоїть між комою і першим періодом.

Наприклад: 0,11(7) = = = .

Властивості арифметичних дій

Властивості додавання:

а + b = b + а (переставна);

(а + b) + с = а + (b + с) (сполучна); а + 0 = а; а + (-а) = 0.

Властивості віднімання:

а - (b + с) = а - b - с;

(а + b) - с = (а - с) + b; а - 0 = а.

Властивості множення:

а ∙ b = b ∙ а (переставна)

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с) (сполучна)

(q + b) ∙ c = ac + b ∙ c (розподільна властивість множення відносно додавання)

(a - b) c = a ∙ c - b ∙ c (розподільна властивість множення відносно віднімання)

а ∙ 1 = а; а ∙ 0 = 0

а ∙ = 1, якщо а ≠ 0.

Властивості ділення:

а : 1 = а; а : а = 1, а ≠ 0; 0 : а = 0, а ≠ 0.

Hа нуль ділити не можна!

Пропорції = або а : b = с : d, де a, d — крайні члени, b, с — середні члени.

Пропорція = рівносильна рівностям:

ad = bc

= ; = ; = .

Похідні пропорції

Якщо = і bd ≠ 0, то:

= ; = ;

= ; = ;

= .

Виконайте тест 4

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть значення виразу

2. Знайдіть значення виразу .

3. Знайдіть значення виразу — ( + ) : 2 + .

4. На карті, масштаб якої 1 : 600 000, відстань між Харковом та Ізюмом дорівнює 18 см. Знайдіть цю відстань па місцевості.

5. Довжина хвилинної стрілки годинника 2 см, годинникової стрілки — 1,5 см. У скільки разів швидкість кінця хвилинної стрілки більше швидкості кінця годинникової стрілки?

6. Швидкість пароплава відноситься до швидкості течії ріки як 36 : 5. Пароплав рухався за течією 5 год 10 хв. Скільки часу потрібно йому, щоб повернутися назад?

7. Рівність = справедлива, якщо у дорівнює

8. За 6 однакових стільців сплатили 267 гри. Скільки гривень треба сплатити за 5 таких самих стільців?

За 6 однакових стільців сплатили 267 гри. Скільки гривень треба сплатити за 5 таких самих стільців?

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть значення виразу (1 + 2) ∙ (1 - ); (1 + 2 + ) + .

11. Знайдіть значення виразу 1 — 3,4(12) - + ( + 0,5 - 3) + .

12. Знайдіть значення виразу 3 ∙ — (2,(4) ∙ 2) : (-).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.