Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 28. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Геометричний зміст ви значеного інтеграла

Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S = (рис. 1).

Рис. 1

Фізичний зміст визначеного інтеграла

Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

,

де v (t) — швидкість руху (рис. 2).

Рис. 2

Площа фігури

Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S = - g(x))dx (рис. 3).

Рис. 3

Обчислення площ

Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² і у = -х + 2.

Розв’язання

Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:

x² = -х + 2; x² + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.

Тоді S = — x²)dx = = - - + 2 — ( — 2 - 4) = - + 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.

Відповідь: 4,5.

Рис. 8

Об’єм тіла обертання

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює

V = .

Рис. 9

Приклад 2. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури. обмеженої синусоїдою у = sin x та прямими x = 0 і х = (рис. 10).

Розв’язання

Рис. 10

Відповідь: .

Виконайте тест 28

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть площу криволінійної трапеції, зображеної на рисунку.

2. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х², у = 0, х = 2.

3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = , у = 0, х = 1, х = 4.

4. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v (t) = t³ + t (м/с). Знайдіть шлях, пройдений тілом за проміжок часу від t = 1 с до t = 2 с.

5. На рисунку зображено графіки функцій у = та у = . Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

6. На рисунку зображено графік функцій у = f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

7. Знайдіть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку.

8. Обчисліть об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = у, у = 0,х = 2.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми геометричними інтерпретаціями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Обчисліть площ)' фігури, обмеженої лініями у = 4 - х², у = (х - 2)², у = 0.

11. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 2 + х², у = 4 - х.

12. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у = 3х -х². Яка площа лугу між шосе та річкою (у км²), якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.