Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ
Тема 28. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Геометричний зміст ви значеного інтеграла
Площам криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку (а; b] функції f(х), віссю Ох та прямими х = а, х = b) обчислюється за формулою S = (рис. 1).
Рис. 1
Фізичний зміст визначеного інтеграла
Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює
,
де v (t) — швидкість руху (рис. 2).
Рис. 2
Площа фігури
Якщо на заданому проміжку [а; b] неперервні функції у = f(х) і у = g (x) мають властивість f(x) ≥ g(x) для всіх х є [а; b], то S = - g(x))dx (рис. 3).
Рис. 3
Обчислення площ
Приклад 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х2 і у = -х + 2.
Розв’язання
Зобразимо схематично графіки даних функцій і заштрихуємо фігуру, площу якої необхідно знайти (див. рис. 8). Для знаходження меж інтегрування розв’яжемо рівняння:
x2 = -х + 2; x2 + х - 2 = 0; х = -2 або х = 1.
Тоді S = — x2)dx =
=
-
-
+ 2 — (
— 2 - 4) = -
+ 1,5 + 6 = 7,5 — 3 = 4,5.
Відповідь: 4,5.
Рис. 8
Об’єм тіла обертання
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [а; b] функції y = f(x) та прямими х = а і х = b (рис. 9), дорівнює
V = .
Рис. 9
Приклад 2. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури. обмеженої синусоїдою у = sin x та прямими x = 0 і х = (рис. 10).
Розв’язання
Рис. 10
Відповідь: .
Виконайте тест 28
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть площу криволінійної трапеції, зображеної на рисунку.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
2 |
2 |
інша відповідь |
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х2, у = 0, х = 2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
1 |
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = , у = 0, х = 1, х = 4.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
1 |
4. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v (t) = t3 + t (м/с). Знайдіть шлях, пройдений тілом за проміжок часу від t = 1 с до t = 2 с.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
4,5 м |
4,75 м |
5 м |
5,25 м |
5,5 м |
5. На рисунку зображено графіки функцій у = та у =
. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
6. На рисунку зображено графік функцій у = f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
2 |
2 |
7. Знайдіть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
48 |
45 |
36 |
24 |
20 |
8. Обчисліть об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = у, у = 0,х = 2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2 |
3 |
4 |
5 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми геометричними інтерпретаціями (А—Д).
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Обчисліть площ)' фігури, обмеженої лініями у = 4 - х2, у = (х - 2)2, у = 0.
11. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = 2 + х2, у = 4 - х.
12. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у = 3х -х2. Яка площа лугу між шосе та річкою (у км2), якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.