Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 29. СПОЛУКИ. БІНОМ НЬЮТОНА

Елементи комбінаторики Перестановки (без повторень)

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називаємся перестановкою з n елементів.

Число перестановок з n елементів (позначається Р_n) дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто n! (читається: «eн факторіал»):

Р_n = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙... ∙ n = n!

За означенням 0! = 1.

Таблиця факторіалів чисел віл 1 до 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	2	6	24	120	720	5040	40 320	362 880	3 628 800

Розміщення (без повторень)

Будь-яка впорядкована множина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, де m < n. називається розміщенням з n елементів по m елементів.

Число розміщень з n елементів по m позначають .

Число розміщень з n елементів по m дорівнює добутку m послідовних натуральних чисел, найбільшим із яких є n:

= n(n - 1 )(n - 2)(n - 3) ∙ ... ∙ (n - m + 1) або = .

Якщо n = m, то = Р_n.

Комбінації (без повторень)

Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів, називаємся комбінацією з n елементів по m елементів.

Число комбінацій з n елементів по m позначають символом .

Число комбінацій з n елементів по m (1 ≤ m ≤ n) дорівнює дробу, чисельником якого є добуток m послідовних натуральних чисел, найбільшим із яких є n, а знаменником — добуток m перших послідовних натуральних чисел:

= або = , = 1; = n; = 1.

Властивості числа комбінацій без повторень

= ; = + ; + + + … + + = 2ⁿ.

Трикутник Паскаля

Усі можливі значення (n = 0, 1, 2, ... m = 0, 1, 2,...,) можна записати у вигляді трикутної таблиці.

Гака таблиця називається трикутником Паскаля.

Розглянемо розв’язання задач.

Задача 1. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Розв'язання

Число способів розташування на майданчику шести волейболістів дорівнює числу перестановок із шести елементів:

Р₆ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Відповідь: 720.

Задача 2. Скільки можна провести різних площин через 5 точок простору, якщо ніякі чотири з них не лежать в одній площині?

Розв'язання

Площина визначається трьома точками, тому всіх площин буде = = 10.

Відповідь: 10.

Задача 3. 10 учнів обмінялися фотографіями. Скільки всього було роздано фотографій?

Розв'язання

Кількість фотографій дорівнює:

=10 ∙ 9 = 90.

Відповідь: 90.

Задача 4. Скільки всього різних п’ятицифрових чисел можна утворити із цифр 0, 1, 3, 5, 7 (у числах цифри не мають повторюватися)?

A	Б	В	Г	Д
5	24	25	96	120

Розв'язання

Першу цифру п’ятицифрового числа можна обрати чотирма способами (це може бути 1, 3, 5 або 7). При кожному виборі першої цифри другу можна обрати також чотирма способами (це може бути одна із цифр, що залишилася з набору 1, 3, 5, 7, або цифра 0). Отже, перші дві цифри можна обрати шістнадцятьма способами: 4 ∙ 4 = 16. При кожному виборі перших двох цифр третю цифру можна обрати трьома способами, а при кожному виборі перших трьох цифр четверту — двома способами, а п’яту — одним способом. Отже, із даного набору цифр можна утворити 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 96 п’ятицифрових чисел.

Відповідь: Г.

Задача 5. На полиці стоять 8 підручників. Скількома способами можна поставити ці книжки на полицю так, щоб підручники з алгебри, геометрії і фізики стояли поруч?

Розв’язання

Будемо розглядати підручники з алгебри, геометрії, фізики як одну книжку. Тоді на полиці треба розмістити не 8 книжок, а 6. Це можна зробити Р6 способами. Підручники з алгебри, геометрії і фізики можна розмістити Р3 способами. Використовуючи правило множення, матимемо, що шукана кількість способів дорівнює

Р₆∙ Р₃ = 6! ∙ 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 = 36 ∙ 120 = 4320.

Відповідь: 4320.

Задача 6. У кошику лежать 8 різних яблук і 4 різні груші. Треба вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання

Вибрані 3 яблука з 8 можна способами. Вибрати 2 груші з 4 можна способами. Тоді за правилом добутку вибір погрібних фруктів можна здійснити ∙ способами.

∙ = = = 6 ∙ 7 ∙ 8 = 336.

Відповідь: 336.

Біном Ньютона

Рівність (х + а)ⁿ = хⁿа⁰ + Сх^n-1а¹ +...+ x^n-mа^m +... + х⁰аⁿ називають біномoм Ньютона, або формулою Ньютона. Права частина рівності називається біноміальним розкладам (у суму), або розкладом бінома, а коефіцієнти , ,..., — біноміальними.

Властивості розкладу бінома

1. Число всіх членів розкладу на одиницю більше, ніж показник степеня бінома, тобто дорівнює

n + 1.

2. Сума показників степенів x і а кожного члена розкладу дорівнює показнику степеня бінома, тобто

(n - m) + m = n.

3. Загальний член розкладу (позначається Т_m+1 ) має вигляд

T_m+1 = x^n-ma^m, m = 0,1...,n.

4. Біноміальні коефіцієнти членів розкладу, рівновіддалених від кінців розкладу, рівні між собою

= , m = 0, 1, 2, ...,n.

5. Сума біноміальних коефіцієнтів усіх членів розкладу дорівнює 2ⁿ:

+ + + … + = 2ⁿ.

6. Сума біноміальних коефіцієнтів членів розкладу; що стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, які стоять на парних місцях, і дорівнює 2^n-1:

+ + +... = + + +... = 2^n-1.

Розглянемо розв’язування задач.

Приклад 1. Піднесіть до шостого степеня х - 2у.

Розв'язання

Покладемо а = х, b = -2у, тоді отримаємо

(a + b)⁶ = (x — 2y)⁶ = x⁶ + x⁵(-2y) + x⁴(-2y)² + x³(-2y)³ + x²(-2y)⁴ + x(-2y)⁵+

+ (-2у)⁶ = 1 ∙ x⁶ + 6х⁵(-2у) + 15х⁴ - 4у² + 20x³(-8y³) + 15x² ∙ 16y⁴ + 6х(-32y⁵) + 1 ∙ 64у⁶ =

= x⁶ - 12х⁵у + 60х⁴у² -160x³y³ + 240х²у⁴ - 192xу⁵ + 64y⁶.

Відповідь: х⁶ -12X⁵ + 60X⁴y² -160x³y³ +240x²y⁴ -192xy⁵ + 64y⁶.

Приклад 2. Знайдіть 13-й член розкладу бінома ( + )¹⁵.

Розв'язання

Згідно з формулою загального члена розкладу бінома маємо T₁₃ = T₁₂₊₁ = ()³ ∙ 3 ∙ 2 ()¹² = ∙ 3 ∙ 2⁶ = ∙ 3 ∙ 2⁶ = 87360.

Отже = 87 360.

Відповідь: Т₁₃ = 87 360.

Приклад 3. Знайдіть номер члена розкладу бінома (+)¹⁶, який не містить х.

Розв’язання

Для загального члена розкладу маємо T_m+1 = ()^16-m ∙ ()^m = x^-m = .

Член розкладу не залежить від х. Це означає, що показник степенях дорівнює 0, тобто = 0.

Звідси m = 4. Отже, п’ятий член даного розкладу не залежить від х. Відповідь: п’ятий член.

Виконайте тест 29

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Задано цифри 2, 3, 4, 5, 6. Знайдіть кількість непарних п’ятицифрових чисел, які можна скласти із цих цифр, використовуючи кожну цифру тільки один раз.

А	Б	В	Г	Д
24	48	72	120	240

2. Із цифр 1, 3, 5, 7, 9 складено всі можливі п’ятицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які діляться на 5?

А	Б	В	Г	Д
6	24	96	118	625

3. Із цифр 2, 3, 4, 5, 6 складено всі можливі чотирицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які не починаються цифрою 6?

А	Б	В	Г	Д
6	24	96	118	625

4. Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі можливі п’ятицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них чисел, які починаються з 53?

А	Б	В	Г	Д
6	24	96	118	625

5. У шаховому турнірі брали участь 6 шахістів. Учасники турніру зіграти один з одним тільки по одній партії. Скільки всього шахових партій було зіграно на цьому турнірі?

А	Б	В	Г	Д
6	12	15	18	21

6. Укажіть скільки можна скласти різних двоцифрових чисел із цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, не повторюючи їх у числі.

А	Б	В	Г	Д
36	48	64	72	100

7. Скількома способами можна вибрати 3 різні фарби із 5 різних фарб?

А	Б	В	Г	Д
8	10	15	20	60

8. Розв’яжіть рівняння 15 = 7A. Якщо рівняння має декілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму?

А	Б	В	Г	Д
-3	1	2	12	9

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між числовими виразами (1—5) та їхніми значеннями (А—Д).