Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ
Тема 27. ПЕРВІСНА, НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ
Первісна
Функцію F (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).
Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (х2)' = 2х = f(x).
Основна властивість первісної
Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де С — довільна стала.
Функції F (х) = х2 + С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).
Правила обчислений первісних
1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для g (х), то F (х) + G (х) — первісна для функції f(x) + g(x).
2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо F (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x) — первісна для Cf (х).
3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і k ≠ 0, b — стала, то F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).
Невизначений інтеграл
Невизначеним інтегралом від функції f(х) називають вираз F (х) + С, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(х).
Позначається так: (f(x)d(x)= F(x) + C, де функцію f(х) називають підінтегральною функцією; вираз сіх — підінтегральним виразом; F(x) — одна з первісних функції f(х); С — довільна стала.
Основні правила інтегрування
1. =
+
.
2. C
.
3. Якщо k ≠ 0 i k, b — сталі, то =
F (kx + b) + C.
Таблиця первісних
Функція f(x) |
Первісна F (x) + C |
Функція f(x) |
Первісна F (x) + C |
0 |
C |
tgx + C |
|
1 |
x + C |
- ctgx + C |
|
xn(n ≠ -1) |
|
ex |
ex + C |
ln|x| + C |
ax |
|
|
sin x |
-cosx + C |
arctg x + C або -arctgx + C |
|
cosx |
sinx + C |
arcsin x + C або -arccos x + C |
Таблиця невизначених інтегралів
|
|
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = x + cosx.
Розв’язання
Оскільки для х одна з первісних є , а для cos х однією з первісних є sin х, то однією з первісних для функції х + cos х є функція
+ sin х, отже F(x) =
+ sinx + С.
Відповідь: F(x) = + sinx + С.
Приклад 2. Знайдіть .
Розв'язання
=
+
-
= ex — cosx — ln|x| + C
Відповідь: ех-cosx - ln|x| + С.
Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3х2.
Розв’язання
Оскільки однією з первісних для функції ех є функція ех, то однією з первісних для функції 5 ех є 5eх; оскільки однією з первісних для функції sin х є -cos х, то однією з первісних для функції 7sin х є -7cos х; первісною для функції 3х2 є 3 ∙ = х3. Отже, F(x) = 5ех - 7cos х - х3 + С — первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3 х2.
Відповідь: F(x) = 5еx - 7cos х - х3 + С.
Приклад 4. Знайдіть dx.
Розв’язання
dx =
+3
= x + 3 ∙ ex - 4sinx + C.
Відповідь: x + 3ex - 4sin x + C.
Приклад 5. Знайдіть первісні для функцій: а) f(х) = (7 - 3х)5; б)f(х) = e2x-1.
Розв'язання
а) оскільки первісною для функції х5 є функція , F(x) =
+ C =
+ C; то згідно з правилом 3 шукані первісні
б) оскільки однією з первісних для функції еx є функція еx, то згідно з правилом 3 маємо F(x) = e2x-1 + C.
Відповідь:
а) F(x) = - + C;
б) F(x) = e2x-1 + C.
Приклад 6. Знайдіть значення .
Розв'язання
=
=
∙
= C =
∙
∙
+ C =
+ C.
Відповідь: + C.
Визначений інтеграл
Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом
від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).
Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.
Основні правила обчислення визначеного інтеграла
1. dx = C
dx, де С — стала.
+g(x))dx =
dx +
(x)dx.
3. dx = -
dx.
4. =
.
5. dx = 0.
6. dx -
dx +
dx.
Розглянемо приклади.
Приклад 7. Обчисліть .
Розв'язання
Оскільки для х2 однією з первісних є , то
=
=
-
=
+
= 3.
Відповідь: 3.
Приклад 8. Обчисліть .
Розв'язання
Відповідь: -.
Приклад 9. Обчисліть:
a) ;
б) .
Розв’язання
Відповідь: а) 3 - 1; б) 12
.
Виконайте тест 27
Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
F(x) = |
F(x) = |
F(x) = |
F(x) =x |
F(x) = - |
2. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
F(x) =- |
F(x) = - |
F(x) = 2 |
F(x) = |
F(x) = |
3. Знайдіть .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
- sin х + С |
cosx + С |
sin x + С |
- cos х + С |
tgx + C |
4. Знайдіть .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3x2 + C |
4x3 + C |
3x4 + C |
|
|
5. Для даної функції f(a) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (0; 1).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
F(x) = |
F(x) = |
F(x) = |
F(x) = |
іншa відповідь |
6. Для даної функції f(х) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точкуA (
;0)
А |
Б |
В |
Г |
Д |
F(x) = - ctgx + |
F(x) = - ctgx - |
F(x) = - ctgx |
F(x) = - ctgx + 1 |
іншa відповідь |
7. Обчисліть .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
20 |
26 |
16 |
4 |
10 |
8. Обчисліть
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).
1 |
А |
0 |
|
2 |
Б |
0,5 |
|
3 |
В |
1 |
|
4 |
Г |
2 |
|
Д |
3 |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Знайдіть dx.
11. Знайдіть .
12. Обчисліть
.
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.