Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 27. ПЕРВІСНА, НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ

Первісна

Функцію F (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).

Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (х²)' = 2х = f(x).

Основна властивість первісної

Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де С — довільна стала.

Функції F (х) = х² + С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).

Правила обчислений первісних

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для g (х), то F (х) + G (х) — первісна для функції f(x) + g(x).

2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо F (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x) — первісна для Cf (х).

3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і k ≠ 0, b — стала, то F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(х) називають вираз F (х) + С, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(х).

Позначається так: (f(x)d(x)= F(x) + C, де функцію f(х) називають підінтегральною функцією; вираз сіх — підінтегральним виразом; F(x) — одна з первісних функції f(х); С — довільна стала.

Основні правила інтегрування

1. = + .

2. C.

3. Якщо k ≠ 0 i k, b — сталі, то = F (kx + b) + C.

Таблиця первісних

Таблиця невизначених інтегралів

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = x + cosx.

Розв’язання

Оскільки для х одна з первісних є , а для cos х однією з первісних є sin х, то однією з первісних для функції х + cos х є функція + sin х, отже F(x) = + sinx + С.

Відповідь: F(x) = + sinx + С.

Приклад 2. Знайдіть .

Розв'язання

= + - = e^x — cosx — ln|x| + C

Відповідь: е^х-cosx - ln|x| + С.

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(х) = 5е^x + 7sin х - 3х².

Розв’язання

Оскільки однією з первісних для функції е^х є функція е^х, то однією з первісних для функції 5 е^х є 5e^х; оскільки однією з первісних для функції sin х є -cos х, то однією з первісних для функції 7sin х є -7cos х; первісною для функції 3х² є 3 ∙ = х³. Отже, F(x) = 5е^х - 7cos х - х³ + С — первісні для функції f(х) = 5е^x + 7sin х - 3 х².

Відповідь: F(x) = 5е^x - 7cos х - х³ + С.

Приклад 4. Знайдіть dx.

Розв’язання

dx = +3 = x + 3 ∙ e^x - 4sinx + C.

Відповідь: x + 3e^x - 4sin x + C.

Приклад 5. Знайдіть первісні для функцій: а) f(х) = (7 - 3х)⁵; б)f(х) = e^2x-1.

Розв'язання

а) оскільки первісною для функції х⁵ є функція , F(x) = + C = + C; то згідно з правилом 3 шукані первісні

б) оскільки однією з первісних для функції еx є функція еx, то згідно з правилом 3 маємо F(x) = e^2x-1 + C.

Відповідь:

а) F(x) = - + C;

б) F(x) = e^2x-1 + C.

Приклад 6. Знайдіть значення .

Розв'язання

= = ∙ = C = ∙ ∙ + C = + C.

Відповідь: + C.

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом

від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).

Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdx, де С — стала.

+g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4. = .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х² однією з первісних є , то = = - = + = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 8. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 9. Обчисліть:

a) ;

б) .

Розв’язання

Відповідь: а) ³ - 1; б) 12.

Виконайте тест 27

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

2. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

3. Знайдіть .

4. Знайдіть .

5. Для даної функції f(a) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (0; 1).

6. Для даної функції f(х) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точкуA (;0)

7. Обчисліть .

8. Обчисліть

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть dx.

11. Знайдіть .

12. Обчисліть .

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.