Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 27. ПЕРВІСНА, НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ

Первісна

Функцію F (х) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку F'(х) = f(х).

Функція F(х) = х2 є первісною для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (х2)' = 2х = f(x).

Основна властивість первісної

Якщо F(x)— первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то функція f(х) має безліч первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де С — довільна стала.

Функції F (х) = х2 + С є первісними для функції f(х) = 2х, оскільки F'(x) = (x2 + С)' = 2c = f(х).

Правила обчислений первісних

1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F(x) — первісна для f(х), a G (х) — первісна для g (х), то F (х) + G (х) — первісна для функції f(x) + g(x).

2. Сталий множник можна ви носити за знак первісної, тобто якщо F (x) — первісна для функції f(х) і С — стала, то CF(x) — первісна для Cf (х).

3. Якщо F(x) — первісна для f(х) і k ≠ 0, b — стала, то F(kх + b) — первісна для функції f(kх + b).

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(х) називають вираз F (х) + С, тобто сукупність усіх первісних даної функції f(х).

Позначається так: (f(x)d(x)= F(x) + C, де функцію f(х) називають підінтегральною функцією; вираз сіх — підінтегральним виразом; F(x) — одна з первісних функції f(х); С — довільна стала.

Основні правила інтегрування

1. = + .

2. C.

3. Якщо k ≠ 0 i k, b — сталі, то = F (kx + b) + C.

Таблиця первісних

Функція f(x)

Первісна F (x) + C

Функція f(x)

Первісна F (x) + C

0

C

tgx + C

1

x + C

- ctgx + C

xn(n ≠ -1)

+ C

ex

ex + C

ln|x| + C

ax

+ C

sin x

-cosx + C

arctg x + C або -arctgx + C

cosx

sinx + C

arcsin x + C або -arccos x + C

Таблиця невизначених інтегралів

= C;

= x + C;

= + C, n ≠ -1;

= ln|x| + C;

= -cosx + C;

= -sinx + C;

= tgx + C;

= ctgx + C;

= ex + C;

= + C;

=

=

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = x + cosx.

Розв’язання

Оскільки для х одна з первісних є , а для cos х однією з первісних є sin х, то однією з первісних для функції х + cos х є функція + sin х, отже F(x) = + sinx + С.

Відповідь: F(x) = + sinx + С.

Приклад 2. Знайдіть .

Розв'язання

= + - = ex — cosx — ln|x| + C

Відповідь: ех-cosx - ln|x| + С.

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3х2.

Розв’язання

Оскільки однією з первісних для функції ех є функція ех, то однією з первісних для функції 5 ех є 5eх; оскільки однією з первісних для функції sin х є -cos х, то однією з первісних для функції 7sin х є -7cos х; первісною для функції 3х2 є 3 ∙ = х3. Отже, F(x) = 5ех - 7cos х - х3 + С — первісні для функції f(х) = 5еx + 7sin х - 3 х2.

Відповідь: F(x) = 5еx - 7cos х - х3 + С.

Приклад 4. Знайдіть dx.

Розв’язання

dx = +3 = x + 3 ∙ ex - 4sinx + C.

Відповідь: x + 3ex - 4sin x + C.

Приклад 5. Знайдіть первісні для функцій: а) f(х) = (7 - 3х)5; б)f(х) = e2x-1.

Розв'язання

а) оскільки первісною для функції х5 є функція , F(x) = + C = + C; то згідно з правилом 3 шукані первісні

б) оскільки однією з первісних для функції еx є функція еx, то згідно з правилом 3 маємо F(x) = e2x-1 + C.

Відповідь:

а) F(x) = - + C;

б) F(x) = e2x-1 + C.

Приклад 6. Знайдіть значення .

Розв'язання

= = = C = + C = + C.

Відповідь: + C.

Визначений інтеграл

Нехай задано неперервну функцію у= f(x), визначену на проміжку [а; b], тоді визначеним інтегралом

від а до b функції f(х) називають приріст первісної F(x) цієї функції, тобто dx = F(b) - F(a).

Числа а і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Основні правила обчислення визначеного інтеграла

1. dx = Cdx, де С — стала.

+g(x))dx = dx + (x)dx.

3. dx = -dx.

4. = .

5. dx = 0.

6. dx - dx + dx.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Обчисліть .

Розв'язання

Оскільки для х2 однією з первісних є , то = = - = + = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 8. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: -.

Приклад 9. Обчисліть:

a) ;

б) .

Розв’язання

Відповідь: а) 3 - 1; б) 12.

Виконайте тест 27

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

А

Б

В

Г

Д

F(x) = + C

F(x) = x + C

F(x) = + C

F(x) =x + C

F(x) = -x + C

2. Знайдіть усі первісні для функції f(x) = .

А

Б

В

Г

Д

F(x) =- + C

F(x) = - + C

F(x) = 2 + C

F(x) = + C

F(x) = + C

3. Знайдіть .

А

Б

В

Г

Д

- sin х + С

cosx + С

sin x + С

- cos х + С

tgx + C

4. Знайдіть .

А

Б

В

Г

Д

3x2 + C

4x3 + C

3x4 + C

+ C

+ C

5. Для даної функції f(a) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (0; 1).

А

Б

В

Г

Д

F(x) = x

F(x) = x

F(x) = x

F(x) = x

іншa відповідь

6. Для даної функції f(х) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точкуA (;0)

А

Б

В

Г

Д

F(x) = - ctgx +

F(x) = - ctgx -

F(x) = - ctgx

F(x) = - ctgx + 1

іншa відповідь

7. Обчисліть .

А

Б

В

Г

Д

20

26

16

4

10

8. Обчисліть

А

Б

В

Г

Д

-2

-1

0

1

2

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між інтегралами (1—4) та їхніми значеннями (А—Д).

1

А

0

2

Б

0,5

3

В

1

4

Г

2



Д

3

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть dx.

11. Знайдіть .

12. Обчисліть .

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.