Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 24. ЛОГАРИФМИ. ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Основна логарифмічна тотожність

Означення логарифма можна коротко записати так:

Ця рівність справедлива при b > 0, а > 0, а ≠ 1 і називається основною логарифмічною тотожністю. Наприклад: 2^log25 = 5, 2^-log25 = (2^log25)^-1= 5^-1 = .

Основні властивості логарифмів

При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв’язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких доданих х і у виконуються такі рівності:

1) log_а 1 = 0;

2) log_а а = 1;

3) log_а ху = log_а х + log_а у;

4) log_а = log_а х - log_а у;

5) log_a x^p = plog_а х (p ∈ R);

6) log_ap x = log_ax;

7) log_a x = (b > 0, b ≠ 1).

Логарифм числа

Рівняння a^x = b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0 (рис. 1), має єдиний корінь. Його називають логарифмом числа b з основою а і позначають log_ab).

Рис. 1

Наприклад: коренем рівняння 2^х = 8 є число 3, тобто log₂ 8 = 3.

Логарифмом додатного числа b за основою а, де а > 0, а ≠ 1, називають показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержат число b.

Наприклад: log₂8 = 3, оскільки 2³ = 8;

log₂ = -2, оскільки 2^-2 = :

log₇1 = 0, оскільки 7⁰ = 1.

Розглянемо приклади використання формул 3—7. Обчислімо:

1) log₆ 18 + log₆ 2 = log₆( 18 ∙ 2)= log₆36 = 2;

2) log₁₂ 48 - log₁₂ 4 = log₁₂ = log₁₂12 = 1;

3) log₃ = log₃ = log₃3 = ∙ 1 = ;

4) log₁₂₅5 = 5 = log₃5 = ∙ 1 = ;

5) = log₄16 = log₄4² = 2log₄4 = 2 ∙ 1 = 2.

Формулу 7 називають формулою переходу до логарифмів з іншою основою.

За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довільною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш уживаними є таблиці десяткових і натуральних логарифмів.

Десятковими логарифмами називають логарифми за основою 10, позначають lg.

Наприклад: lg100 = 2, lg 0,0001 = -4.

Натуральними логарифмами називають логарифми за основою е (число е — ірраціональне, е ≈ 2,718...), позначають In.

Наприклад: ln е = 1, ln е² = 2, ln = -1.

Дію знаходження логарифма числа (виразу) називають логарифмуванням.

Приклад 1. Прологарифмувати вираз у = .

Рoзв'язання

lgy = lg = lg(a²b²) — lgc³ = lga² + lgb² — lgc³ = 2lga + 2lgb — 3lgc.

Дію, обернену до логарифмування, називають потенціюванням. Потенціювання —знаходження числа (виразу) за його логарифмом.

Приклад 2. Пропотенціювати вираз lgx = lg⁵a - 31gb + 41gc.

Розв’язання

lgx = lg5a — 3lgb + 4lgc; lgx = lg — lgc⁴; lgx = lg — lgb³ + lgc⁴;

lgx = lg( ∙ c⁴) — lgb³; lgx = lg ; x = .

Логарифмічна функція y = log_a х, a > 0, a ≠ 1

Функцію виду у = log_ax, де а > 0, а ≠ 1, називають логарифмічною. Основні властивості логарифмічної функції

1. Область визначення — (0;+∞).

2. Область значень — множина всіх дійсних чисел R.

3. Якщо х = 1, то у = 0.

4. Функція у = log_ax не є ні парною, ні непарною.

7. Якщо а > 1, функція у = log_a х зростає, а при 0 < а < 1 — спадає.

8. Якщо а > 1 і х > 1, то у = log_a x > 0. Якщо а > 1 і 0 < х < 1,то у = logа х < 0. Якщо 0 < а < 1 і х > 1, то у = log_a х < 0. Якщо 0 < а < 1 і 0 < х < 1, то у = log_a x > 0.

9. Графік функції у = logа х зображено на рис. 2.

Рис. 2

При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляд у = log_а(f(х)), а > 1, а ≠ 1, то слід вважати f(x) > 0 (під знаком логарифма може стояти тільки додатний вираз).

Наприклад: якщо у = lg(x² -5x + 6), то x² - 5X + 6 > 0, тобто D(y) = (-∞; 2)(3; + ∞).

2. Якщо функція має вигляд у = log _f(x) b, b > 0, то слід вважати (основа логарифма може бути тільки додаток) і відмінною від одиниці).

Наприклад: якщо y = log_x-110, то тобто D(у) = (1; 2)(2; + ∞).

Логарифмічні рівняння, нерівності та системи

Логарифмічними називаються рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Приклад 3. Логарифмічні рівняння:

lgх = 1 + lg² х, log₂ (х + 3) = 9, = lg.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log_a х = b, де а > 0 ,а ≠ 1, х > 0. З означення логарифма випливає, що x = ab.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння:

log_a x = log_a b, де а > 0, а 1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності log_ax = log_a b на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо

х = a^logab = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння

log_x а = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.

За означенням логарифма маємо

x^b = а, звідси х = .

В основному, усі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв’язувати, зводяться до розв’язування найпростіших рівнянь.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння log₃ (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log₃ (2 ∙ 4 + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння log₃ х = log₃ (6 - х²).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає

х = 6 - х²; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3; х₂ = 2.

Перевірка:

1) число - 3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3 (- 3) — не визначений;

2) log₃х = log₃2; log₃(6 - х²) = log₃(6 - 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння log_x+1 (2x² + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо

2x² + 1 = (х + 1)²; 2x² + 1 = х² + 2х + 1; х² - 2х = 0; х₁ = 0; х₂ = 2.

Перевірка:

1) значення x = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма x + 1 не повинна дорівнювати 1;

2) log₂₊₁ (2 ∙ 2² + 1) = log₃ 9 = 2.

Відповідь: 2.

Зазначимо, що в прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не призводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного з одержаних коренів обов’язкова, якщо немає впевненості у рівносильності рівнянь.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння log²₂ х - 3 log₂ х = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ х через у. Дане рівняння набуває вигляду:

у² - 3у = 4; у² - 3у - 4 = 0; у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂x = 4, log₂x = -1; x = 2⁴, x = 2^-1; x = 16, x = .

Перевірка:

1) log²₂16 - 31og₂ 16 = 16 -12 = 4;

2) log²₂ - 3log₂ = 1 + 3 = 4.

Відповідь: 16, .

2. Метод потенціювання.

Приклад 8. Розв’яжіть рівняння log₅ (x - 1) + log₅ (х - 2) = log₅ (х + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅ ((х - 1 )(х - 2)) = log₅ (х + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2;

х² - 2х - х + 2 = х + 2; х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0;

х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1) значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅ (х - 1) і log₅ (х - 2) не мають змісту при х = 0;

2) log₅(х - 1) + log₅(х - 2) = log₅(4 - 1) + log₅(4 - 2) = log₅3 + log₅2 = log₅ (2 ∙ 3) = log₅ 6.

Отже, x = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння log₃x - 2х = 3.

Розв’язання

log₃x - 2 = 3; log₃x — 2 ∙ = 3; log₃x — 2 ∙ = 3;

log₃x + 2log₃х = 3; 3log₃x = 3; log₃x = 1; х = 3.

Перевірка: log₃ 3 - 23 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад 10. Розв'яжіть рівняння х^lgx = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0) і одержимо

lg х^lgx = lg (100х); lg х lg х = lg 100 + lg x; lg² x - lg x - 2 = 0.

Замінимо lg x = у. Рівняння набуває вигляду:

y² - у - 2 = 0; y₁ = 2; y₂ = -1.

Тоді: 1) lgx = 2; x = 10²; x = 100.

2) lgx = -1; x = 10^-1 = 0,1.

Перевірка:

1) x^lgx = 100^lg100 = 100²; 100x = 100 ∙ 100= 100². Отже, x = 100 — корінь;

2) x^lgx =0,1^lg0,1 = 0,1^-1 = 1 = 10; 100x = 100 ∙ 0,1 = 10. Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв’язування логарифмічних рівнянь.

Приклад 11. Розв’яжіть рівняння lgх = 1 - х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат побудуємо графіки функції у = lg x і у = 1 - x (рис. 3). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

Рис. 3

Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам’ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.

Системи логарифмічних рівнянь

При розв’язуванні систем логарифмічних рівнянь використовують ті самі способи, що й при розв’язуванні алгебраїчних систем. Розглянемо приклади.

Приклад 12. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв'язання

Додамо і віднімемо почленно рівняння системи, тоді одержимо:

Відповідь: (10⁶; 10^-1).

Приклад 13. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв'язання

Тоді маємо: або

Перевіркою впевнюємося, що (9; 7), (7; 9) — розв’язки системи.

Відповідь: (9; 7), (7; 9).

Логарифмічні нерівності

Як відомо, логарифмічна функція у = log_ах зростає при а > 1, спадає — при 0 < а < 1. Зі зростання функції у = log_ах у першому випадку і спадання — у другому випливає:

1. При а > 1 нерівність log_ах₂ > log_ах₁ рівносильна системі

2. При 0 < а < 1 нерівність log_ах₂ > log_AХ₁ рівносильна системі

Розглянемо приклади.

Приклад 14. Розв’яжіть нерівність log₂х < 3.

Розв'язання

Оскільки 3 = log₂ 2³ = log₂ 8, то запишемо дану нерівність у вигляді log₂х < log₂ 8. Оскільки функція у = log₂х зростаюча при X > 0, то маємо Отже, 0 < х < 8 (рис. 4).

Відповідь: х ∈ (0; 8).

Рис. 4

Приклад 15. Розв’яжіть нерівність х ≤ -2.

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді х≤ 9. Оскільки функція у = х спадна при х > 0, маємо: отже, x ≥ 9 (рис. 5).

Рис. 5

Відповідь: х ∈ [9; +∞).

Як правило, логарифмічна нерівність зводиться до нерівностей виду log_af(X) > log_a g (X), де а > 0, а ≠ 1.

Якщо а > 1, то нерівність log_af(X) > log_a g (X) рівносильна системі нерівностей

Якщо 0 < а < 1, то нерівність log_af(X) > log_ag(x) рівносильна системі нерівностей

Приклад 16. Розв’яжіть нерівність log_0,5 (x² + X) ≥ -1.

Розв'язання

Оскільки -1 = log_0,5 0,5^-1 = log_0,5 2, то log_0,5 (X² + X) ≥ log_0,5 2.

Одержана нерівність рівносильна системі

Розв’язком першої нерівності (рис. 6) є (-∞; -1 ) (0; +∞).

Рис. 6

Розв’язком другої нерівності (рис. 7) є [-2; 1].

Рис. 7

Тоді маємо (рис. 8) х ∈ [-2; -1 ) (0; 1 ].

Відповідь: [-2;-1) (0; 1].

Рис. 8

Приклад 17. Розв'яжіть нерівність log²₅ х - log₅x > 2.

Розв'язання

Нехай log₅ х = у, тоді отримаємо нерівність у² - у - 2 > 0. Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів (рис. 9):

у ∈ (-∞; -1 )(2; +∞).

Ураховуючи заміну, маємо:

Рис. 9

1) log₅ х < -1; log₅ х < log₅ ; x ∈ (0; );

2) log₅х > 2; log > log₅ 25; x ∈ (25;+∞).

Отже, (0; ) (25;+ ∞) —розв’язок даної нерівності.

Відповідь: (0; )(25;+∞).

Приклад 18. Розв’яжіть нерівність ≥1.

Розв'язання

Нехай lgх = у, тоді матимемо нерівність

≥ 1; y ≠ 1; — 1 ≥ 0; ≥ 0; ≥ 0.

Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів (рис. 10):

у ∈(-1; 1].

Ураховуючи заміну, одержимо -1 < lg х ≤ 1.

Тоді

Отже, х ∈(0,1; 10] (рис. 11).

Відповідь: (0,1; 10].

Рис. 10

Рис. 11

Приклад 19. Розв’яжіть нерівність (3х - 6)log_0,6 х > 0.

Розв’язання

Нехай у = (3х - 6)log_0,6 x, y > 0. Область визначення функції у: х > 0. Знайдемо нулі функції:

(3х - 6) ∙ log_0,6x = 0; 3х - 6 = 0;

log_0,6x = 6; х = 2, х = 1.

Рис. 12

Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точками 2 і 1 і знайдемо знаки функції на утворених проміжках (рис. 12). Отже, х ∈(1; 2).

Відповідь: (1; 2).

Приклад 20. Розв’яжіть нерівність log_x-3 (x - 1) < 2.

Рoзв'язання

Нехай у = log_х-3 (х - 1) - 2 і у < 0. Область визначення функції знаходимо із системи:

Отже, х ∈(3; 4)(4; +∞).

Знайдемо нулі функції:

log_х-3 (х - 1) = 2; х - 1 = (х - 3)²; х - 1 = х² - 6х + 9;

х² - 7х + 10 = 0; х = 5, х = 2.

Значення х = 2 не входить в області, визначення функції. Зробивши перевірку, переконуємося, що х = 5 — нуль функції.

Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точкою 5 та знайдемо знаки функції на утворених проміжках (рис. 13). Отже, х ∈(3; 4)(5; +∞).

Відповідь: (3; 4)(5; +∞).

Рис. 13

Приклад 21. Розв’яжіть нерівність log₃ х ≤ 4 - х графічно.

Розв'язання

Побудуємо графіки функцій у = log₃х і у = 4 - х в одній системі координат. Графіки перетинаються в точці А з абсцисою х = 3 (рис. 14).

Із рис. 14 видно, що множина розв’язків нерівності log₃ х ≤ 4 - х є проміжок (0; 3].

Відповідь: (0; 3].

Рис. 14

Виконайте тест 24

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Обчисліть .

2. Знайдіть значення виразу log₃ (9а), якщо log₃ а = 0,3.

3. Розташуйте в порядку зростання числа: a = log_8, b = 49, c = 0,008, d = log_3.

4. Знайдіть log₂ 12, якщо log₃2 = а.

5. Знайдіть область визначення функції у = .

6. Через яку із наведених точок проходить графік функції у = ?

7. Розв'яжіть нерівність lg (х + 6) - lg (2х - 3) < 2 - lg 25.

8. Знайдіть цілі розв’язки нерівності log_0,5 9 ∙ log₂ (х + 4) > 0.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їх можливими графіками (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть добуток коренів рівняння log₆х + log_x36 = .

11. Знайдіть число з проміжка (1,8; 4), яке задовольняє рівняння 2log₃ (х - 2) + log₃ (х - 4)² = 0.

12. Розв’яжіть систему рівнянь

Знайдіть суму х₀ + у₀, якщо пара (x₀; у₀) є розв’язком указаної системи рівнянь. Якщо система має більше одного розв’язку, укажіть їх кількість.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.