Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ
Тема 23. ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ
Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
Функцію виду у = ах де а > 0, а ≠ 1, називають показниковою.
Основні властивості
1. Область ви значення — множина всіх дійсних чисел R.
2. Область значень — (0; +∞).
3. Якщо х = 0, то у = 1.
4. Функція не є ні парною, ні непарною.
5. Якщо а > 1, тоді функція у = ах зростає; якщо 0 < а < 1, то функція спадає.
6. При а > 1 і х > 0, ах > 1; при х < 0, ах < 1. При 0 < а < 1 ах < 1, якщо х > 0; ах > 1 при х < 0.
7. Графік функції у = ах зображено на рис. 1.
Рис. 1
Показникові рівняння
Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах.
Наприклад: рівняння 2х + 3 = 0; 3х+1 - 3х - 1 = 0 є показниковими.
Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1.
Оскільки множина значень функції у = аx — множина додатних чисел, то рівняння аx = b:
1) має один корінь, якщо b > 0 (рис. 2);
2) не має коренів, якщо b ≤ 0 (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Для того щоб розв’язати рівняння ax = b, де а > 0, а ≠ 1, b > 0, треба b подати у вигляді b = аc, тоді будемо мати аx = ac, звідси х = с.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5x = 125.
Розв'язання
Оскільки 5х = 125, а 125 = 53, то маємо 5х = 53, звідси х = 3.
Відповідь: 3.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ()x = 49.
Оскільки 49 = 72 = ()-2, то (
)x = (
)-2 звідси x = -2.
Відповідь: -2.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15x2-5x+6 = 1.
Розв'язання
Оскільки 1 = 150, то 15х2-5х+6 = 150, x2 — 5X + 6 = 0, звідси x1 = 2, X2 = 3.
Відповідь: 2; 3.
Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2х-2 = -2.
Розв'язання
Оскільки 2х-2 > 0 при всіх знаменнях x, то рівняння коренів не має.
Відповідь: немає коренів.
Розглянемо деякі способи розв’язування показникових рівнянь.
І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння af(x) = аg(х).
Як відомо, показникова функція y = ax > 0 i а ≠ 1 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності af(x) = ag(x) випливає, що f(х) = g(x).
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2х ∙ 5х = 0,1(10х-1)3.
Розв'язання
2х∙ 5х = 0,1(10х-1)3; 10х = 10-1∙ 103х-3; 10х = 103х-4; х = 3х - 4; х = 2.
Відповідь: 2.
ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3х - 2 ∙ 3х-2 = 63.
Розв'язання
3x - 2 ∙ 3x-2 = 63; 3х-2 (32 - 2) = 63; 3х-2∙ 7 = 63; 3х-2 = 9; x - 2 = 2; x = 4.
Відповідь: 4.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 52x-1 — 52x + 22x + 22x+2 = 0.
Розв'язання
22x + 22x+2 = 52x - 52x-1; 22x (1 +22) = 52x(1 - 5-1);
22x ∙ 5 = 52x ∙ ;
=
; (
)2x = (
)2 : 2x = ; x = 1.
Відповідь: 1.
IІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного.
Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 49x - 8 ∙ 7x + 7 = 0.
Розв'язання
49x - 8 ∙ 7x + 7 = 0; (72)x - 8 ∙ 7x + 7 = 0; (7x)2- 8 ∙ 7x + 7 = 0.
Нехай 7х = t, тоді t2 - 8t + 7 = 0; t1 = 7; t2 = 1.
Отже. 1)7x = 7; х = 1; 2) 7x = 1; 7x = 70; x = 0.
Відповідь: 1; 0.
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння 3 ∙ 16x + 2 ∙ 81x = 5 ∙ 36x.
Розв'язання
3 ∙ 42x + 2 ∙ 92x = 5 ∙ 4x ∙ 9x; +
=
; 3 ∙ (
)2x — 5 ∙ (
)x + 3 = 0.
Заміна ()x = у, тоді 3у2 - 5у + 2 = 0, звідси у, =
; y2 = 1.
Отже, 1) ()x =
; (
)2x =
; 2x = 1; x =
;
2) ()x = 1; x = 0.
Відповідь: 0; .
IV спосіб. Графічний спосіб розв’язування показникових рівнянь.
Приклад 6. Розв’яжіть графічно рівняння ()x = х +1.
Розв'язання
Побудуємо графіки функцій у = ()x, у = х + 1 в одній системі координат.
Графіки функцій у = ()x і у = х + 1 перегинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 4).
Відповідь: х = 0.
Рис. 4
Зауваження. Корінь цього рівняння легко знайти усно, однак треба пам'ятати, що в цьому випадку необхідно доводити той факт, що знайдений корінь єдиний.
Системи показникових рівнянь
При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються традиційні способи розв’язування показникових рівнянь і знайомі Вам способи розв’язування систем рівнянь.
Розглянемо приклади.
Приклад 7. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв'язання
Зробимо заміну 3x = а, 7y = b, тоді матимемо систему:
Розв’яжемо систему рівнянь:
Отже,
Відповідь: (2; 1).
Приклад 8. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання
або
або
Отже, і
є розв’язками системи.
Відповідь: (1; 2), (2; 1).
Приклад 9. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання
Перемножимо і розділимо рівняння системи, тоді одержимо:
Відповідь: (2; 1).
Показникові нерівності
Розв’язування показникових нерівностей часто зводяться до розв’язування нерівностей аx > ab (аx ≥ ab) або аx < ab (аx ≤ аb). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.
Розглянемо приклади.
Приклад 10. Розв’яжіть нерівність 3x < 27.
Розв’язання
Запишемо дану нерівність у вигляді 3x < 33. Оскільки 3 > 1, то функція у = 3t є зростаючою. Отже, при х < 3 виконується нерівність 3x < 27.
Відповідь: (-∞; 3).
Приклад 11. Розв’яжіть нерівність ()x >
.
Розв'язання
Запишемо дану нерівність у вигляді ()x >
; (
)x >
.
Оскільки у = ()x — спадна функція, то х < -
.
Відповідь: (-х; - ).
Приклад 12. Розв’яжіть графічно нерівність 2х ≤ 3 - х.
Розв’язання
Побудуємо графіки функцій у = 2х і у = 3 - х (рис. 5). Із рисунка видно, що 2х ≤ 3 - х при x ≤ 1. Отже, розв’язком нерівності 2х ≤ 3 - х є проміжок (-∞; 1 ]. Відповідь: (-∞; 1].
Рис. 5
Приклад 13. Розв’яжіть нерівність 6x2+2х > 63.
Розв’язання
Показникова функція у = 6t зростає, тому дана нерівність рівносильна нерівності х2 + 2x > 3. Розв’язуємо нерівність x2 + 2X - 3 >0 методом інтервалів (рис. 6).
Маємо X∈ (-∞; -3)(1; +∞).
Відповідь: (-∞; -3)( 1; +∞).
Рис. 6
Приклад 14. Розв’яжіть нерівність 25x + 25 ∙ 5x - 1250 > 0.
Розв’язання
Зробимо заміну 5x = t, тоді дану нерівність запишемо так:
t2 + 25t - 1250 >0.
Розв’яжемо одержану нерівність методом інтервалів (рис. 7), тоді
t <-50 або t > 25.
Отже, маємо дві нерівності: 5x < -50 або 5x > 25.
Розв’яжемо їх:
1) 5x < -50 — розв'язків немає;
2) 5x > 25; 5x > 52; X > 2.
Відповідь: (2; +∞).
Рис. 7
Виконайте тест 23
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Чому дорівнює , якщо 7а = с?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
c |
2. Запишіть вираз ∙ (
у вигляді степеня з основою 2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3. Якому з наведених проміжків належать усі розв’язки рівняння 2 ∙ (8x - 8-x) = - З?
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-6;-5) |
[-3;-2) |
(-1; 0) |
(0; 0,25) |
(0,25; 1) |
4. Розв’яжіть рівняння =
∙
А |
Б |
В |
Г |
Д |
5. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння 0,42x-1 = 0,064.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-∞;-2) |
[-2;-1) |
(-1; 0) |
[0; 1) |
(1; 2] |
6. На рисунку зображено графіки функцій g(x) = і f(х) = 2x. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f(x) ≥ g(x).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-∞; 0) |
(0; 2) |
(-∞; 0) |
(-∞; 0) |
[2;+ ∞) |
7. Розв’яжіть нерівність 0,63х-1 > 0,36.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(-∞; 1) |
(-∞; |
(1; +∞) |
(-∞; |
інша відповідь |
8. Знайдіть область значень функції у = 32cos2x-sin2x
А |
Б |
В |
Г |
Д |
[1; 9] |
[3;9] |
[1; 3] |
[ |
[ |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їх можливими графіками (А—Д).
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Розв’яжіть рівняння 2x+2 - 2x = 96.
11. Розв’яжіть систему рівнянь
У відповідь запишіть суму х0 + у0, якщо пара (x0; у0) є розв’язком системи рівнянь.
12. Розв’яжіть систему рівнянь
Для одержаного розв’язку (x0;у0) системи обчисліть добуток x0 ∙ у0.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.