Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 25. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ, ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ

Означення похідної

Нехай задано функцію у = f(х) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку х₀ цього проміжку, надамо значенню х₀ довільного приросту ∆х (число Ах може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка х₀ + ∆х належала даному проміжку.

Тоді

1) обчислимо в точці х₀ приріст ∆у = ∆f(х₀) функції:

∆у = ∆f (x₀) = f(х₀ + ∆x) - f (х₀);

2) складемо відношення = = ;

3) знайдемо границю цього відношення за умови, що ∆х → 0, тобто:

=

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(х) у точці х₀ і позначають f'(х₀)або y' (читають так: «еф штрих від х₀ або у штрих»).

Похідною функції у = f(х) у точці х₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

f’(x₀) = = .

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(х) = 3х² + 2 у точці х₀.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

∆f = f (х₀ + ∆х) - f (х₀) = 3 (х₀ + ∆х)² + 2 - 3х²₀ - 2 =

= 3x²₀ + 6х₀ ∆х + 3 ∆х² + 2 - 3x²₀ - 2 = 6х₀ ∆х + 3 ∆х² = ∆х(6х₀ + 3 ∆х).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

= = 6x₀ + 3∆x.

Знайдемо похідну даної функції в точці х₀:

f’(x₀) = = (6x₀ + 3∆x) = 6x₀ + 3 ∙ 0 = 6x₀.

Відповідь: 6х₀.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(х) = kx + b(k i b — сталі) у точці х₀.

Розв’язання

Знайдемо приріст функції:

∆f = f (x₀ + ∆х) - f (x₀ ) = k (x₀ + ∆х) + b - kх₀ - b = kх₀ + k ∆х - kх₀ = k ∆х.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

= = k.

Отже, f'(х0) = = k = k, або (kх + b)' = k.

Відповідь: k

Із другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції — стала величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнтy прямої. Якщо у формулі (kx + b)' = k покласти k= 0, b = С, де С — довільна стала, то одержимо, що С = 0, тобто похідна сталої дорівнює нулю.

Якщо у формулі (kx + b)' = k покласти k = 1, b = 0, то одержимо х' = 1.

Функцію, яка має похідну в точці х₀, називають диференційованою в цій точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D₁ — множина точок, у яких функція y = f(x) диференційована. Якщо кожному x ∈ D₁ поставити у відповідність число f' (a), то одержимо нову функцію з областю визначення D₁. Цю функцію позначають f':

f’(x) =

Фізичний зміст похідної

Нехай матеріальна точка M рухається прямолінійно за законом s = f(t) (рис. 1).

Рис. 1

У момент t₀ вона зайняла положення M₀ і пройшла шлях s₀ = f(t₀). Знайдемо швидкість точки в момент t₀.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу ∆t, починаючи з моменту t₀, точка перемістилася на відстань ∆s і зайняла положення М₁.

Тоді t₁= t₀+ ∆t, s₁= f(t₁) = s₀ + ∆s.

За проміжок часу At матеріальна точка проходить шлях

∆S = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀ + ∆t) - f(t₀). Середня швидкість (v_cep) руху на проміжку М₀M₁ дорівнює

v_cep = = .

Ця величина дає лише приблизне уявлення про швидкість руху матеріальної точки на розглянутому проміжку. Вона буде точнішою, якщо проміжок ∆t зменшуватиметься.

Таким чином, можна вважати, якщо ∆t наближається до нуля, то середня швидкість v_{cep =} , буде наближатися до швидкості в момент t₀.

Миттєвою швидкістю точки, яка рухаєтеся прямолінійно, у момент t₀ називають границю середньої швидкості за умови, що ∆t наближається до нуля:

v_cep = = = .

Числа At, As називають відповідно приростом часу і приростом шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухаєтеся прямолінійно, є границя відношення приросту шляху ∆s до відповідного приросту часу At, коли приріст часу наближається до нуля.

Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом s = s(t). то швидкість її руху v (t) у момент t дорівнює похідній s'(t):

v (t) = s'(t).

Приклад 3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 5t² +1 + 3 (s — шлях у метрах, t — час у секундах). Знайдіть швидкість точки: а) у довільний момент t₀; б) у момент t = 2 с.

Розв'язання

а) Нехай значення аргументу t₀ одержало приріст ∆t, тоді t₁ = t₀ + ∆t.

Знайдемо відповідний приріст шляху:

∆s = s(t₀ + ∆t) - s(t₀) = 5(t₀ + ∆t)² + (t₀ + ∆t) + 3 - (5t²₀ + t₀ +3) =

= 5t²₀ + 10t₀ ∆t + 5∆t² + t0 + ∆t + 3 - 5t²₀ - t₀ - 3 = 10 t₀ ∆t+ 5 ∆t² + ∆t.

Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

= = = 10t₀ + 1 + 5∆t.

Знайдемо границю відношення приросту шляхy до приросту часу (границю середньої швидкості):

= (10t₀ + 1 + 5∆t) = 10t₀ + 1.

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент t₀ дорівнює 10t₀ + 1.

Таким чином, при заданому законі руху s (t) миттєва швидкість v (t) у довільний момент t обчислюється за формулою v (t) = 10t + 1.

б) Якщо t = 2 с, то маємо

v(2)= 10 ∙ 2 + 1 = 21 (м/с).

Відповідь: а) 10t₀ + 1; б) 21 (м/с).

Геометричний зміст похідної

У курсі геометрії дотичною до кола називають пряму, яка лежить у площині кола і має з колом лише одну спільну точку. Таке означення дотичної не може бути перенесено на всі криві (парабола, синусоїда, гіпербола тощо).

Наприклад, вісь ОТ має тільки одну спільну точку з графіком функції у = х³, проте її не можна вважати дотичною до кубічної параболи в точці 0 (рис. 2).

Пряма у = 1 і синусоїда у = sin х мають безліч спільних точок (рис. 3), проте пряму у = 1 вважають дотичною до синусоїди.

Рис. 2

Рис. 3

Для введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію у = f(х) і її графік — криву лінію (рис. 4). Нехай точки А і M належать графіку функції у = f(x), проведемо січну AM.

Зафіксуємо точку А. Нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої AT. Пряму AT називають дотичною до даної кривої в точці А.

Рис. 4

Дотичною AT до графіка функції у = f(х) в точці А називають граничне положення січної AM, коли точка M, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

Слід мати на увазі, що не в усякій точці кривої можна провести до неї дотичну. На рис. 5 зображено криву у = f(x), яка в точці А не має дотичної, бо якщо точка М буде наближатися до точки А по лівій частині кривої, то січна МА займе граничне положення AQ.

Якщо точка N буде наближатися но правій частині кривої, то січна NA займе граничне положення AT. Одержуємо дві різні прямі AQ і AT. Це означає, що в точці А до даної кривої дотичної не існує.

Поставимо задачy: провести дотичну до графіка функції у = f(х) у точці А (х₀; у₀).

Дотична — це пряма, а положення прямої у = kх + b, яка проходити через точку А (х₀; у₀), визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg а, де а — кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ (рис. 6).

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Рис. 5

Рис. 6

Нехай у точці А (х₀;у₀) (рис. 7) кривої у f = (X) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) надамо аргументу х₀ приросту ∆х, одержимо нове значення аргументу х₀ + ∆х:

2) знайдемо відповідний приріст функції ∆у = f (х₀ + ∆х) - f(х₀);

3) знайдемо відношення = .

Із трикутника АМК маємо = tg∠MAK. Оскільки ∠MAK = — куту нахилу січної AM із додатним напрямом осі ОХ, то tg;

Рис. 7

4) якщо ∆х → 0, то ∆y → 0, і точка М буде переміщуватися но кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А, а величина кута буде змінюватися зі зміною ∆х. Граничним положенням січної AM при ∆х → 0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут. величину якого позначимо через а.

Отже, = tg = tga = k — кутовий коефіцієнт дотичної.

Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(х) у точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀:

f'(x₀) = k = tga (pиc. 8).

Рис. 8

Похідні суми, добутку, частки двох функцій та функцій у = kх + b; у = sin x; y = cosx; у = tgx; у = xⁿ, n ∈ N; у = ax; у = log_ax. Похідна складеної функції

Похідна суми (різниці) двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:

(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x).

Похідна добутку двох функцій, кожна з яких має похідну, дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції:

(f(x) g (x))' = f' (x) g (x) + f(x) g (x).

Похідну частки двох функцій f(x) і g (x), кожна з яких має похідну і g (x) ≠ 0, знаходять за формулою

()’ =

Сталий множник можна виносити за знак похідної:

(сf(x))'=сf'(х).

Наведені формули називають правилами диференціювання.

Похідні елементарних функцій знаходять, користуючись таблицею похідних.

Таблиця

У математиці розглядають складені функції.

Розглянемо приклад.

Приклад 4. Нехай треба обчислити за заданим значенням а значення функції y, яку задано формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням А значення u = g (X) = 9 - x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

Отже, функція g ставить у відповідність числу а число u, а функція f— числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією з функцій g i f і пишуть у = f(g (X)).

Функцію g (X) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінного, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g (X)) у довільній точці, х спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 5. Розглянемо функцію у = .

Вона є складеною з функцій u = cos x, у = , де cosx — внутрішня функція, - зовнішня функція.

Приклад 6. Запишіть складені функції f(g (x)) і g (f(x)), якщо f(x) = sin x, g (x) = x².

Розв'язання

f(g(x)) = sing(x) = sinx²; g(f(x)) = (f(x))² =(sinx)² = sin^2x.

Складена функція y = f(g (x)) має проміжну змінну u = g (x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

y’_x = — похідна функції у по аргументу х;

y’_u = — похідна функції у по аргументу u;

u’_x = — похідна функції u по аргументу х.

Теоремa

Похідну складеної функції у = f(g (х)) знаходять за формулою

y'х = y'u ∙ u'х,

де u = g(x), або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Приклад 7. Знайдіть похідну функції у = (3x³ - 1)⁵.

Розв'язання

у = (3x³ - 1)⁵ — складена функція, у якої у = u⁵, де u = 3x³ - 1, тоді

у'х = y'u ∙ u'х, y' = (u⁵)'∙(3x³ - 1)' = 5u⁴ ∙ 9x² = 5(3х³ -1)⁴ ∙ 9x² = 45х² (3х³ - 1)⁴.

При обчисленні похідної складеної функції введення допоміжної букви и для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3x³ - 1:

у' = ((3х³ - 1)⁵)' = 5(3х³ -1 )⁴∙ (3х³ -1)' = 5(3х³ -1)⁴ ∙ 9х² = 45х² (3х³ - 1)⁴.

Приклад 8. Знайдіть похідні функцій:

а) y = ;

б) y = sin(3x + 5);

в) у = cos² х;

г) у = cos х².

Розв'язання

a) y = ()’ = ∙ (x² + 2x)’ = = ;

б) y' = (sin (3х + 5))' = cos (3х + 5) ∙ (3х + 5)' = 3cos (3х + 5);

в) у' = (cos² х)' = 2cos х ∙ (cos х)' = 2 cosx ∙ (-sin х) = -2cos xsin x = -sin(2x);

г) y' = (cosx²)' = -sinx² ∙ (x²)' =-2xsinx².

Виконайте тест 25

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише однин правильним. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Для якої з поданих функцій f'(х) = 6х + 5?

2. Точка рухається за законом s (t) = 6 - 4t +1² (м). У який момент часу швидкість руху точки дорівнює 10 м/с?

3. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до параболи у = х² - 4х у точці з абсцисою х = 2,5.

4. Знайдіть градусну міру кута між дотичною, проведеною до параболи у = х² - 2х + 3 у точці з абсцисою х₀ = 0,5, і додатним напрямом осі абсцис.

5. Відомо, що тангенс кута нахилу дот іншої, проведеної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х₀ = -1, дорівнює 3. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці, якщо f(x₀) = 2.

6. Які з поданих функцій є неперервними в точці х₀ = 0 і не мають похідної в цій точці?

7. Знайдіть значення похідної функції f(х) = (х² - 1) (х³ +х) у точці х₀ = -1.

8. Знайдіть значення похідної функції f(х) = х cos х у точці х₀ = .

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями (1—4) та їхніми похідними (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Точка рухається за законом х (t) = 1 + 2t² (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент t = 1 с.

11. Дотична до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х₀ утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(х₀).

12. Знайдіть значення похідної функції f(x) = у точці х₀ = 0 .

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.