Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§11. ВІДСТАНІ У ПРОСТОРІ.

6. Відстань між мимобіжними прямими.

Відстанню між мимобіжними прямими називають довжину їх спільного перпендикуляра.

Можна довести, що такий спільний перпендикуляр існує, і до того ж тільки один.

Приклад 1. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб з ребром 2 см (мал. 433). Знайти відстань між мимобіжними прямими А ₁D ₁ і DС.

Розв’язання. DD ₁ - спільний перпендикуляр для прямих А ₁D ₁ і DС. Отже, шукана відстань - це довжина відрізка DD ₁, яка дорівнює 2 см.

Для знаходження відстані між мимобіжними прямими корисним може бути наступний факт.

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної їй площини, що проходить через другу пряму.

Приклад 2. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб з ребром 1 дм (мал. 430). Знайти відстань між мимобіжними прямими АВ ₁ і D ₁С.

Розв’язання. 1) АВ₁ || DС₁, DС₁ DD ₁C ₁, тому за ознакою паралельності прямої і площини АВ₁ || DD ₁C ₁.

2) ВА АD і ВА - проекція В ₁А на площину АВС. Тому за теоремою про три перпендикуляри АB ₁ АD.

3) Оскільки АD DD ₁ і АD DС, то за ознакою перпендикулярності прямої і площини АD DD ₁С₁.

4) Отже, АD - відстань від прямої АВ, до паралельної їй площини DD ₁С₁, що проходить через пряму D ₁С. Тому АD - є також відстанню між мимобіжними прямими АВ ₁ і D ₁С. Ця відстань дорівнює 1 дм.