Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§12. КУТИ У ПРОСТОРІ.

1. Кут між прямими.

Як і на площині, у просторі

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих.

Якщо прямі паралельні, то природно вважати, що кут між такими прямими дорівнює нулю.

Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Нехай а ₁ і b ₁ - прямі, які перетинаються в точці С і паралельні мимобіжним прямим а і b, а кут між прямими а ₁ і b ₁ дорівнює φ (мал. 437). Тоді кут між прямими а і b також дорівнює φ. Можна довести, що кут між мимобіжними прямими а і b не залежить від вибору точки С. В задачах точку С зручно брати на одній із прямих, наприклад на прямій а, і проводити через цю точку пряму, паралельну прямій b.

Приклад. АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ - куб (мал. 438). Знайти кут між мимобіжними прямими ВС і DС ₁.

Розв’язання. 1) Пряма АD паралельна прямій ВС. Тому шуканий кут буде дорівнювати куту між прямими АD і DС ₁.

2) Оскільки DС АD, то за теоремою про три перпендикуляри С ₁D АD.

3) Отже, кут між прямими ВС і DС₁ дорівнює 90°.

Таким чином можна говорити про кут φ між будь-якими двома прямими простору. Очевидно, що цей кут φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤ 90°.

Перпендикулярними можуть бути як прямі, що перетинаються, так і мимобіжні прямі.

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

У розглянутому прикладі прямі ВС і DС ₁ - перпендикулярні.