Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Квадратні корені
Теорема Вієта

Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння має два корені, то , .

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то ; .

Коли рівняння має один корінь, його можна вважати за два рівних: . Тоді для незведеного квадратного рівняння ; ; для зведеного , .

Зверніть увагу: для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади

Знайти суму й додаток коренів рівняння.

1)  ;

— додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.

Отже, ; .

2)  ;

— від’ємне число.

Рівняння не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.

Теорема 2 (обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел і дорівнюють відповідно p і q, то і є коренями рівняння .

Із теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників q коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.

Під час розв’язування треба також враховувати такі висновки з теореми Вієта.

1. Якщо , і мають різні знаки.

2. Якщо , і обидва від’ємні чи обидва додатні. Знак і є протилежним до знака p.

Приклад

.

За теоремою Вієта:

; ; .

Очевидно, що .

Відповідь: ; .