Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння — це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві — дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб:

1)  перенести всі доданки в один бік;

2)  звести їх до спільного знаменника;

3)  до одержаного рівняння виду (де a і b — деякі цілі вирази) засто­сувати умову рівності дробу нулю;

4)  знайти корені чисельника;

5)  перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого;

6)  записати відповідь.

Приклад

,

,

,

,

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

; ; .

, .

Якщо , то .

Якщо , то .

Відповідь: .

До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу.

Приклади

Задача 1 (на рух). Теплохід пройшов течією річки 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год.

Розв’язання

Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. Проти течії теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. За умовою задачі, на весь шлях він витратив 5,5 год.

Складемо й розв’яжемо рівняння:

,

,

,

,

,

; . Розв’язок –5 не задовольняє умову задачі: швидкість — число додатне.

Відповідь: швидкість течії 5 км/год.

Задача 2 (на сумісну роботу). Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?

Розв’язання. (Порівняйте розв’язання із задачею на сумісну роботу за 6-й клас.)

Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно днів. Це означає, що за один день перша бригада виконає , а друга — частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працю­ючи разом, виконують всього завдання.

Складемо й розв’яжемо рівняння:

, ,

.

За теоремою Вієта: , . Корінь не задовольняє умову задачі, тому що час — число до­датне.

; .

Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.