Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

У розділі дізнаєтеся:

■ що таке переміщення та які його властивості;

■ про симетрію відносно точки та прямої, поворот, паралельне перенесення та про їх застосування в природі, техніці, архітектурі;

■ що таке перетворення подібності та які його властивості;

■ як застосовувати вивчені означення та властивості на практиці й у розв’язуванні задач

§ 19. ПЕРЕМІЩЕННЯ

Подивіться на малюнок 250. Кожну точку півкола змістили так, що одержали відрізок. Говорять, що півколо відобразили на відрізок. Можна також сказати, що відрізок утворився з півкола в результаті геометричного перетворення. Далі коротко будемо говорити: перетворення. Зрозуміло, що дане перетворення не зберігає відстань між точками цих фігур: X'Y' Ф XY.

Перетворення, подане на малюнку 251, за якого фігура F відображається у фігуру F', є особливим. Воно зберігає відстань між відповідними точками фігур. Будь-які дві точки X і Y фігури F переходять у точки X' і Y' фігури F' так, що X'Y' = XY. Таке перетворення є переміщенням.

Перетворення називається переміщенням, якщо воно зберігає відстань між точками.

Мал. 250

Мал. 251

Мал. 252

Деяке перетворення переводить дане коло в коло іншого радіуса (мал. 252). Чи є це перетвореня переміщенням? Ні, бо воно не зберігає відстань між відповідними точками: OX≠ О' X'.

ТЕОРЕМА

властивість переміщення 

При переміщенні точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Д а н о: перетворення, що є переміщенням.

Д о в е с т и: 1) точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій;

2) зберігається порядок взаємного розміщення точок на прямій.

Д о в е д е н н я. Нехай три точки А, В і С лежать на одній прямій.

Тоді одна з них лежить між двома іншими. Нехай, наприклад, точка В лежить між точками А і С (мал. 253).

Тоді   АС = АВ + ВС. (1)

Мал. 253

Деяке переміщення переводить точки А, В і С в точки А', В' і С. Оскільки переміщення зберігає відстані, то АС = А'С', АВ = А'В' і ВС = ВС '. Із цих рівностей і рівності (1) випливає: АС' =А'В' +В С'.

Остання рівність означає, що точки А', В', і С' лежать на одній прямій, а точка В' лежить між точками А' і С'.

НАСЛІДОК. Переміщення прямі переводить у прямі, промені — у промені, відрізки — у рівні їм відрізки.

Задача. Доведіть, що переміщення переводить кут у рівний йому кут.

Розв’язання. Нехай АВ і АС — два промені, що виходять зі спільної точки А й не лежать на одній прямій (мал. 254). Переміщення переводить ці промені в деякі промені А'В' і А'С'.

Оскільки переміщення зберігає відстані, то АВ = А'В', АС = А'С', ВС = В' С. АВС = АА'В'С' за трьома сторонами.

З рівності трикутників випливає: ∠ВАС = ∠В'А'С'.

Узагалі, переміщення будь-яку фігуру переводить у рівну їй фігуру. Тому поняття «рівні фігури» можна визначити за допомогою поняття «переміщення».

Мал. 254

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

Властивості переміщення подано в таблиці 29.

Таблиця 29

Дізнайтеся більше

Давайте поміркуємо над поняттям «відображення фігур».

Нехай k і k' — два кола зі спільним центром О (мал. 255). Вважатимемо, що кожній точці Х першого кола відповідає точка Х другого, яка лежить на промені ОХ. При цьому кожна точка другого кола поставлена у відповідність деякій точці першого кола. Крім того, різним точкам першого кола відповідають різні точки другого кола. Ми одержали відображення кола k на коло k'.

Відображенням фігури F на F' називають таку відповідність, за якої: 1) кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури F';

Мал. 255

2) кожна точка фігури F' поставлена у відповідність деякій точці фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F'.

Чи кожна відповідність між точками фігур буде відображенням цих фігур? Ні.

На малюнку 256 зображено відрізки АВ і CD. Кожній точці Х відрізка АВ поставлено у відповідність основу Х перпендикуляра, проведеного з точки Х до відрізка CD. Поясніть, чому задана відповідність не буде відображенням відрізка АВ на відрізок CD.

Мал. 256

Пригадайте головне

1. Яке перетворення називається переміщенням?

2. Доведіть, що при переміщенні точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які теж лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

3. У які фігури переходять під час переміщення прямі, промені, відрізки й кути?

4. Які дві фігури називаються рівними?

Розв'яжіть задачі

866'. Чи правильно, що переміщення:

1) не зберігає відстані;     2) зберігає відстані?

867'. Чи правильно, що при переміщенні точки, що лежать на прямій, переходять у точки:

1) що не лежать на одній прямій; 2) що лежать на одній прямій?

868'. Чи правильно, що при переміщенні порядок точок на прямій:

1) не зберігається; 2) зберігається?

869'. Чи правильно, що при переміщенні пряма переходить у:

1) відрізок;    2) промінь; 3) пряму; 4) кут?

870'. Чи правильно, що при переміщенні промінь переходить у:

1) відрізок;    2) промінь; 3) пряму; 4) кут?

871'. Чи правильно, що при переміщенні відрізок переходить у:

1) рівний йому відрізок; 2) промінь; 3) пряму; 4) кут?

872'. Чи правильно, що при переміщенні кут переходить у:

1) відрізок;    2) промінь; 3) пряму; 4) рівний йому кут?

873'. Чи правильно, що фігури, які суміщаються при переміщенні, є:

1) нерівними; 2) рівними?

874°. Перетворення переводить трикутник АВС у трикутник А'В'С' (мал. 257). Чи є це перетворення переміщенням? Відповідь поясніть.

875°. На малюнку 258 переміщення переводить відрізок АВ у відрізок CD.

1) У які точки переходять точки Х і Y при цьому переміщенні?

2) У які фігури переходять відрізки АХ і XY?

3) Чи рівні відрізки АХ і СХ', XY і Х ' Y, ВY і DY'?

Відповідь поясніть.

Мал. 257

Мал. 258

876°. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок АВ у відрізок CD, якщо:

1) АВ = 4 см, CD = 6 см; 2) АВ = 5 см, CD = 5 см?

877°. Переміщення переводить фігуру F у фігуру F'. Чи рівні фігури F і F'?

878°. Переміщення переводить відрізок АВ у відрізок А'В'. Який із записів правильний:

1) АВ > А'В'; 2)АВ =А'В'; З)АВ < А'В'?

879°. Позначте довільні точки А і В. Побудуйте коло із центром А й радіусом 3 см. Побудуйте фігуру, у яку перейде це коло під час переміщення, що переводить точку А в точку В.

880°. Побудуйте два прямокутні трикутники, що мають кут 30° і менший катет завдовжки 2 см. У першому трикутнику з вершини прямого кута через середину гіпотенузи проведіть промінь. Побудуйте фігуру, у яку він переходить під час переміщення, що переводить перший трикутник у другий.

881°. Проведіть промені ОА і О'А'. На промені ОА позначте три точки М, K, Р. Побудуйте точки М', K' і Р', у які переходять точки М, K і Р під час переміщення, що переводить промінь О А в промінь О'А'.

882°. Дано промені ОА і ОВ зі спільним початком у точці О та промінь ОА'. Побудуйте промінь О'В', у який переходить промінь ОВ під час переміщення, що переводить промінь ОА в промінь О А'. Чи однозначно визначається положення променя О 'В' ?

883°. Побудуйте два рівні трикутники АВС і А 'В' С' та позначте точку Х на стороні АС. Побудуйте точку, у яку переходить точка Х' при переміщенні, що переводить ∆АВС у ∆АВ'С'.

884. Чи існує переміщення, що переводить ∆АВС у ∆АВ' С', якщо:

1) ∠А = 110°, ∠В' = 120°;

2) АС = 20°, ∠A = 60°;

3) АС = 6 см, АВ' = В'С' = 3 см?

885. Чи рівні два квадрати, якщо:

1) рівні їхні діагоналі;  2) рівні їхні периметри?

886. Чи рівні два прямокутники, якщо:

1) рівні їхні діагоналі;  2) рівні їхні периметри?

887. У крузі з центром О проведено діаметри АВ і CD. Яка фігура рівна частині круга:

1)АОС; 2)AOD?

888. Дві частини, з яких складається фігура F, відповідно рівні двом частинам, з яких складається фігура F'. Чи рівні ці фігури? Виконайте малюнок.

889. Прямокутник поділено на дві частини, як показано на малюнку 259. Чи рівні ці частини?

890. Чи можна поділити різносторонній трикутник на дві рівні частини? Для яких трикутників такий поділ можливий?

891. Доведіть, що переміщення переводить:

1) трикутник у рівний йому трикутник;

2) паралелограм у рівний йому паралелограм.

892. За даними на малюнку 260 доведіть, що паралелограми ABCD і А'В'C'D' — рівні.

893. Чи рівні два паралелограми, якщо в них рівні:

1) дві діагоналі та кут між ними; 2) сторона і дві діагоналі;

3) периметри; 4) дві сусідні сторони й зовнішній кут?

Мал. 259

Мал. 260

894*. Доведіть, що ромби рівні, якщо вони мають рівні діагоналі.

895*. Доведіть, що переміщення переводить многокутник у многокутник з відповідно рівними сторонами й кутами.

896*. Доведіть, що переміщення переводить паралельні прямі в паралельні прямі.

Мал. 261

Мал. 262

Проявіть компетентність

897. Опишіть ситуацію математичною мовою:

1) машина виїхала з гаража й зупинилася;

2) викрійку сорочки поклали на тканину;

3) чайник переставили з однієї конфорки плити на іншу;

4) шафу пересунули від однієї стіни кімнати до іншої;

5) книжки поставили на полицю;

6) складену вчетверо квадратну серветку розгорнули;

7) для зручності читання тексту на екрані смартфона збільшили масштаб зображення.

898. Побудуйте фігури, які рівні фігурам, зображеним на малюнках 261 і 262 (для побудови можна скористатися лінійкою, циркулем, косинцем або калькою). Обчисліть площі цих фігур, зробивши найменшу кількість вимірювань.