Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 20. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ І ПРЯМОЇ

1. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ

Дві точки Х і Х' площини називають симетричними відносно точки О, якщо О є серединою відрізка ХХ' (мал. 263).

Мал. 263

Щоб побудувати точку X', симетричну точці X відносно точки О, І проведіть промінь ХО, відкладіть на ньому з другого боку від точки О відрізок ОХ' = ОХ (мал. 264).

Перетворення, за якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х' фігури F', симетричну відносно даної точки О, називають симетрією відносно точки О. При цьому фігури F і F' називають симетричними відносно точки О (мал. 265). Симетрію із центром O називають також центральною симетрією.

Мал. 264

Мал. 265

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то таку фігуру називають центрально-симетричною, а точку О — її центром симетрії. Наприклад, квадрат — центрально-симетрична фігура. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей (мал. 266).

ТЕОРЕМА

властивість симетрії відносно точки

Симетрія відносно точки є переміщенням.

Мал. 266

Д а н о: перетворення, яке є симетрією відносно точки.

Д о в е с т и: дане перетворення є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай симетрія відносно точки О переводить довільні точки X i Y фігури F у точки Х’ і Y' фігури F' (мал. 267). AX'O’Y' = AXOY — за двома сторонами та кутом між ними. У них ОХ' = ОХ, ОY' = ОY за означенням симетрії відносно точки О, ∠X'OY' = ∠XOY як вертикальні. З рівності трикутників випливає:

X' У' = XY.

Це означає, що симетрія відносно точки О є переміщенням. (Випадок, коли точки X, У, O лежать на одній прямій, розгляньте самостійно).

Мал. 267

НАСЛІДОК. Симетрія відносно точки має всі властивості переміщення.

Задача . Доведіть, що паралелограм є центрально-симетричною фігурою відносно точки перетину його діагоналей.

Розв’язання Нехай О — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD (мал. 268). Оскільки діагоналі AC і BD точкою О діляться навпіл, то точки A і C, B і D симетричні відносно точки О. Тоді сторони AB і CD, BC i DA також симетричні відносно точки О. Тому симетрія відносно точки перетину діагоналей паралелограма переводить його в себе.

Мал. 268

Фігури, що мають центр симетрії, часто трапляються в довкіллі. Наприклад, пропелер літака (мал. 269), орнамент (мал. 270), квітка (мал. 271), сніжинка (мал. 272).

Мал. 269

Мал. 270

Мал. 271

Мал. 272

2. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ПРЯМОЇ

Дві точки Х і X' площини називають симетричними відносно прямої І, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка XX' і проходить через його середину (мал. 273).

Якщо точка Х лежить на прямій І, то симетричною їй точкою є сама точка Х.

Щоб побудувати точку X', симетричну точці X відносно прямої І, проведіть з точки X перпендикуляр ХО до прямої І і на його продовженні з другого боку від прямої І відкладіть відрізок ОХ' = ОХ (мал. 273).

Мал. 273

Перетворення, за якого кожна точка Х фігури F переходить у точку X' фігури F', симетричну відносно даної прямої І, називають симетрією відносно прямої І. При цьому фігури F і F' називають симетричними відносно прямої І (мал. 274). Пряму І називають віссю симетрії. Симетрію відносно прямої І називають також осьовою симетрією.

Якщо перетворення симетрії відносно прямої І переводить фігуру F у себе, то цю фігуру називають симетричною відносно прямої І (або осесиметричною), а пряму І — віссю симетрії фігури.

Наприклад, пряма, що проходить через центр кола, є віссю симетрії цього кола (мал. 275).

Мал. 274

Мал. 275

ТЕОРЕМА

властивість симетрії відносно прямої

Симетрія відносно прямої є переміщенням

Д а н о: перетворення, яке є симетрією відносно прямої.

Д о в е с т и: дане перетворення є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай симетрія відносно прямої І переводить довільні точки X, Y фігури F у точки X', Y' фігури F'. Розглянемо загальний випадок, коли точки X, Y не лежать на прямій, перпендикулярній до І (мал. 276). Доведемо, що X'Y' = XY.

Нехай пряма І перетинає відрізки XX' і YY' відповідно в точках A і B. ∆ABX' = ∆ABX як прямокутні з рівними катетами. У них ∠X'AB = ∠XAB = 90°, AX' = AX за означенням осьової симетрії, сторона AB — спільна. Звідси випливає: BX' = BX і ∠ABX' =∠ABX.

AX'Y'B = AXYB за двома сторонами й кутом між ними. У них BX' = BX за доведеним, BY' = BY за означенням осьової симетрії, ∠X'BY' = ∠XBY (∠XBY = 90° - ∠ABX, ∠X'BY' = 90° - ∠ABX'). З рівності трикутників випливає: X'Y' = XY. (Випадки, коли точки X і Y лежать на прямій І або на прямій, перпендикулярній до І, розгляньте самостійно.)

Мал. 276

НАСЛІДОК. Симетрія відносно прямої має всі властивості переміщення.

Задача. Доведіть, що прямі а і а' симетричні відносно осі симетрії І або перетинаються в точці, яка лежить на осі симетрії, й утворюють з віссю симетрії рівні кути або паралельні їй.

Розв’язання Можливі два випадки.

1) Пряма а перетинає вісь l у деякій точці О (мал. 277). Оскільки при осьовій симетрії точка О переходить у себе, то вона лежатиме й на симетричній прямій а'. Таким чином, симетричні прямі а і а' перетинаються в точці, яка лежить на осі І. Кути 1 і 2, утворені цими прямими з віссю І, симетричні відносно l і тому рівні.

2) Пряма а паралельна осі симетрії І. Пряма а', симетрична прямій а, не може перетинати вісь І, оскільки тоді пряма а також перетинала б вісь l (випадок 1). Отже, а' || І.

Мал. 277

Фігури, що мають вісь симетрії, часто трапляються в техніці (мал. 278), архітектурі (мал. 279, 280), природі (мал. 281), побуті (мал. 282).

Мал. 278

Мал. 279

Мал. 280

Мал. 281

Мал. 282

Дізнайтеся більше

1. Слово «симетрія» грецького походження й у перекладі означає сумірність, правильне відношення, однаковість у розміщенні частин.

2. Симетрію широко застосовують у художніх композиціях, зокрема у вишивках. Історія української вишивки своїм корінням сягає у глибину віків. Вишивкою, за свідчення давньогрецького вченого Геродота, був прикрашений одяг скіфів. Українські майстрині оздоблювали вишитими орнаментами не лише одяг, а й предмети побуту — рушники, скатертини, наволочки, серветки тощо. При цьому в різних регіонах України вишивки мали свій колорит і техніку виконання (мал. 283).

Мал. 283

Наприклад, на Харківщині й Луганщині різнокольорові вишивки виконували грубою ниткою, через що узори справляли враження рельєфних (мал. 284). А для гуцульських вишивок характерним є густе заливання тла, коли велика кількість дрібних елементів заповнює площину орнаменту, а візерунок окреслюється тонкими просвітками (мал. 285).

Мал. 284

Мал. 285

Пригадайте головне

1. Які дві точки називають симетричними відносно даної точки?

2. Яке перетворення називають симетрією відносно даної точки?

3. Яку фігуру називають центрально-симетричною?

4. Доведіть, що перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

5. Які дві точки називають симетричними відносно даної прямої?

6. Яке перетворення називають симетрією відносно даної прямої?

7. Яку фігуру називають симетричною відносно даної прямої?

8. Доведіть, що перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

9. Назвіть властивості симетрії відносно точки; прямої.

Розв'яжіть задачі

899'. Чи правильно, що кінці відрізка симетричні відносно точки, що:

1) не є серединою цього відрізка; 2) є серединою цього відрізка?

900'. Чи правильно, що симетрія відносно точки:

1) не є переміщенням;  2) є переміщенням?

901'. Чи правильно, що кінці відрізка симетричні відносно прямої, що:

1) не проходить через середину цього відрізка, але перпендикулярна до нього;

2) проходить через середину цього відрізка, але не перпендикулярна до нього;

3) проходить через середину цього відрізка й перпендикулярна до нього?

902'. Чи правильно, що симетрія відносно прямої:

1) не є переміщенням;

2) є переміщенням?

903°. Які з точок Х і X', зображених на малюнку 286, а — в, симетричні відносно точки О? Відповідь поясніть.

Мал. 286

904°. Позначте точки A і О. Побудуйте точку В, симетричну точці А відносно точки О.

905°. Накресліть відрізок АВ й позначте точку М, яка не лежить на відрізку АВ. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку АВ відносно точки М.

906°. Позначте точки А і В. За допомогою лінійки побудуйте точку, відносно якої симетричні точки А і Б.

907°. Дано трикутник АВС. Побудуйте фігуру, симетричну трикутнику АВС відносно:

1) вершини С;

2) середини О сторони ВС;

3) точки K, яка лежить поза трикутником.

908°. Знайдіть координати точки А', яка симетрична точці А (3; 5) відносно точки:

1) О (0; 0);

2) С (3; 0);

3) D (-1; -1).

909°. На координатній площині побудуйте відрізок АВ', симетричний відрізку АВ, де А (2; 2), В (6; 6), відносно:

1) початку координат;

2) точки М (4; 0);

3) кінця А відрізка АВ.

Запишіть координати точок А' і В'.

910°. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу із центром О відносно:

1) точки А, що лежить на колі;

2) точки В, що лежить поза колом;

3) точки С, що лежить усередині кола.

911°. Які з точок Х і X', зображених на малюнках 287, а — в, симетричні відносно прямої І? Відповідь поясніть.

912°. Проведіть пряму а й позначте точку М, яка не лежить на прямій а. Побудуйте точку N, симетричну точці М відносно прямої а.

913°. За клітинками побудуйте фігуру, симетричну трикутнику АВС відносно прямої І (мал. 288).

Мал. 287

Мал. 288

914°. Позначте точки М і N. За допомогою лінійки та косинця побудуйте пряму І, відносно якої симетричні точки М і N.

915°. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно прямої І, яка:

1) не перетинає трикутник;

2) перетинає трикутник;

3) містить сторону АС трикутника.

916°. Дано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Побудуйте точку, симетричну:

1) точці С відносно прямої АВ; 3) точці А відносно прямої ВС.

2) точці В відносно прямої АС;

917°. Побудуйте фігуру, симетричну:

1) чотирикутнику відносно однієї з його сторін;

2) прямокутнику відносно однієї з його діагоналей;

3) трапеції відносно її середньої лінії.

918°. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу відносно прямої, яка:

1) не перетинає коло;  3) перетинає коло.

2) дотикається до кола;

919°. Знайдіть координати точки, симетричної точці А (-4; 5) відносно:

1) осі ОХ;     2) осі OY.

920°. Знайдіть координати кінців відрізка А'В', симетричного відрізку АВ відносно осі OX, якщо:

1) А (2; 1), В (4; 1);

2) А (-3; -3), В (3; 3);

3) А (3; 2); В (6; 4).

921. Побудуйте фігуру, симетричну даному відрізку АВ відносно точки О, якщо:

1) точка О лежить на відрізку;

2) точка О не лежить на відрізку, але лежить на прямій, яка містить відрізок.

922. Дано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. При симетрії відносно деякої точки точка В переходить у точку С. Побудуйте точку, у яку при цій симетрії переходить точка А.

923. Доведіть, що при симетрії відносно точки пряма, яка не проходить через цю точку, переходить у паралельну їй пряму.

924. Вершина В трикутника АВС при симетрії відносно середини сторони АС переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник АВСВ — паралелограм.

925. Знайдіть координати вершини трикутника АВ'С', який симетричний трикутнику АВС відносно початку координат, якщо:

1) А (1; 2), В (4, 6), С (7, 3);

2) А (4, -2), В (1; 2), С (-2; 6).

926. Чи має центр симетрії:

1) відрізок;  2) промінь; 3) коло?

927. Дано точки А, В і С, які не лежать на одній прямій. Доповніть їх четвертою точкою D так, щоб чотирикутник ABCD мав центр симетрії.

928. Доведіть, що чотирикутник, який має центр симетрії, — паралелограм.

929. Доведіть, що фігура, яка складається з двох паралельних прямих, є центрально-симетричною. Знайдіть геометричне місце центрів симетрії цих прямих.

930. Дано довільний трикутник АВС й довільну точку А'. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно деякої прямої так, щоб точка А перейшла в точку А'.

931. Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії.

932. Доведіть, що пряма, яка містить висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, є віссю симетрії трикутника.

933. Точки перетину двох кіл симетричні відносно прямої, що проходить через їхні центри. Доведіть.

934. Доведіть, що діагоналі ромба є його осями симетрії.

935. Якщо трикутник має вісь симетрії, то він рівнобедрений. Доведіть.

936. Доведіть, що коли трапеція має вісь симетрії, то вона рівнобічна.

937. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ рівнобічної трапеції, є її віссю симетрії.

938. Скільки осей симетрії може мати чотирикутник? Наведіть приклади.

939. Вершина В рівнобедреного трикутника ABC при симетрії відносно прямої, що містить основу АС, переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник ABCD — ромб.

940*. Дано точки А і О. Скориставшись тільки циркулем, побудуйте точку А', симетричну точці А відносно точки О.

941*. Дано кут MON і довільну точку Р, яка лежить у внутрішній області кута. Побудуйте відрізок з кінцями на сторонах кута й серединою в даній точці Р. За малюнком 289 складіть план побудови.

942*. Побудуйте відрізок так, щоб його середина була в даній точці Р, а кінці — на даній прямій а й на даному колі (мал. 290).

943*. Скориставшись тільки циркулем, побудуйте точку, симетричну даній точці відносно даної прямої.

944*. Доведіть, що коли трикутник має дві осі симетрії, то він має й третю вісь симетрії.

945*. Дано пряму l і точки А і В з одного боку від неї. На прямій l знайдіть таку точку N, щоб сума відстаней AN + BN була найменшою.

946*. Дано гострий кут АВС й точку М усередині його. На сторонах кута знайдіть такі точки Х і Y, щоб трикутник MXY мав найменший периметр.

Мал. 289

Мал. 290

Проявіть компетентність

947. Базовий елемент орнаменту містить два елементи. Опишіть математичною мовою принцип побудови такого орнаменту:

1) на малюнку 291;

2) на малюнку 292.

Мал. 291

Мал. 292

948. Дано частину базового елемента орнаменту (мал. 293).

1) На основі цієї частини побудуйте повний базовий елемент орнаменту, використавши симетрію відносно: а) точки O; б) прямої ОМ;

2) побудуйте орнамент із трьох базових елементів.

949. З одного боку від газопроводу розташовані міста А і В. У якому місці газопроводу слід побудувати газову підстанцію, щоб при розподілі газу для міст А і В витратити найменшу кількість труб?

Мал. 293