Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площу круга

У розділі дізнаєтеся:

■ що таке правильний n-кутник, які його властивості та як будувати деякі правильні n-кутники;

■ як знайти радіуси вписаного й описаного кіл для правильного n-кутника за даною його стороною;

■ про формули для обчислення довжини кола й дуги кола, площі круга, сектора та сегмента;

■ як застосовувати вивчені властивості та формули до розв’язування геометричних задач на практиці

§ 15. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

На малюнках 183-186 ви бачите многокутники. У чому їх відмінність?

У многокутнику на малюнку 183 кути та сторони не рівні. На малюнку 184 зображено многокутник з рівними сторонами, але не рівними кутами. А в многокутнику на малюнку 185 — навпаки, усі кути рівні, а сторони — ні. Лише многокутник на малюнку 186 має всі сторони рівні й усі кути рівні. Це — правильний многокутник.

Мал. 183

Мал. 184

Мал. 185

Мал. 186

Многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні й усі кути рівні.

Квадрат і рівносторонній трикутник — приклади правильних многокутників. Многокутник, зображений на малюнку 186, — правильний шестикутник, а на малюнку 187 — правильний восьмикутник.

У правильному n-кутнику, як і в довільному n-кутнику, сума всіх кутів дорівнює 180°(n - 2).

Мал. 187

Задача. Знайдіть кут правильного десятикутника.

Розв’язання. Сума кутів правильного десятикутника дорівнює:

180°(n - 2) = 180°(10 - 2) = 1440°.

Усіх кутів є 10. Тому кожний кут дорівнює:

1440° : 10 = 144°.

Щоб знайти кут правильного n-кутника, скористайтеся формулою:

Ви знаєте, що правильний трикутник і чотирикутник (квадрат) є вписаними в коло й описаними навколо кола. Чи справджується це для будь- якого правильного многокутника? Відповідь дає теорема.

^{ТЕОPЕМА} (властивість правильного многокутника)

Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло й у нього можна вписати коло.

Д а н о: многокутник ABCD… F; АВ = ВС = CD = … = FA, ∠A = ∠B = ∠C = … = ∠F.

Д о в е с т и: 1) многокутник A _{BCD… F} є вписаним у коло;

2) многокутник ABCD… F є описаним навколо кола.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай бісектриси кутів А і В правильного многокутника A _{BCD… F} перетинаються в точці О (мал. 188). Доведемо, що OA = OB = OC = … = OF, тобто що ці відрізки є радіусами кола, описаного навколо даного многокутника.

Оскільки ∠A = ∠B, то і ∠OAB = ∠OBA = , де а — кут многокутника.

Мал. 188

Тоді ∆АОВ — рівнобедрений і ОА = ОВ.

Сполучимо точку О відрізками з рештою вершин многокутника.

У трикутниках АОВ і ВОС сторона ОВ — спільна, АВ = ВС за умовою, ∠OBA = ∠OBC = , оскільки ОВ — бісектриса кута В.

Отже, ∆АОВ = ∆АВОС, звідси ОВ = ОС.

Так само в трикутниках ВОС і СОD сторона ОС — спільна, ВС = CD, за умовою, ∠OCB = ∠OCD = .

І за доведеним, АВОС — рівнобедрений і ∠OBC = ∠OCB = , тоді й ∠OCD = )

Отже, ∆ВОС = ∆COD, звідси OC = OD.

Таким чином, ОА = ОВ = ОС = OD.

Продовжуючи порівняння сусідніх трикутників, одержимо:

ОА = ОВ = ОС = OD = … = OF.

Мал. 189

Отже, усі вершини даного многокутника лежать на колі з центром О.

2) Доведемо, що OM = ON = OP = … = OE (мал. 189), тобто що ці відрізки є радіусами кола, вписаного в даний многокутник. Ми довели що ∆АОВ = ∆ВОС = ∆COD = … = ∆FOA. Тому висоти цих трикутників, проведені з вершини О, також рівні: ОМ = ON = OP = … = OE. Звідси випливає, що коло із центром О і радіусом ОМ проходить через точки М, N, P, … , E й дотикається до сторін многокутника ABCD… F у цих точках, тобто це коло — вписане в даний правильний многокутник.

У правильному многокутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються. Спільний центр цих кіл називають центром правильного многокутника.

Кут, утворений двома радіусами, проведеними в суміжні вершини правильного многокутника, називають його центральним кутом (мал. 190).

Мал. 190

Щоб знайти центральний кут правильного n-кутника, скористайтеся формулою:

Дізнайтеся більше

Окремим видом многокутників є напівправильні многокутники. Многокутник, у якого всі кути рівні, а сторони рівні через одну, називають напівправильним рівнокутним многокутником. Найпростіший приклад — прямокутник. На малюнках 191, 192 зображено напівправильні рівнокутні шестикутники — опуклий і зірчастий.

Мал. 191

Мал. 192

Якщо в многокутнику всі сторони рівні, а кути рівні через один, то його називають напівправильним рівностороннім многокутником. На малюнках 193, 194 зображено опуклий і зірчастий напівправильні рівносторонні шестикутники.

Мал. 193

Мал. 194

Пригадайте головне

1. Що таке правильний многокутник?

2. Поясніть, як навколо правильного многокутника описати коло та як вписати в нього коло.

3. Що називають центром правильного многокутника; центральним кутом правильного многокутника?

4. Як знайти кут правильного n-кутника; центральний кут правильного n-кутника?

Розв'яжіть задачі

675'. Який із чотирикутників, зображених на малюнках 195-197, — правильний? Відповідь поясніть.

Мал. 195

Мал. 196

Мал. 197

676'. На малюнку 198 зображено правильний шестикутник із центром O. Чи правильно, що:

1) радіус описаного кола — це відрізок: а) ОА; б) ОМ; в) ОВ;

2) радіус вписаного кола — це відрізок: а) ОА; б) ОМ; в) ОВ;

3) центральний кут шестикутника — це кут: а) МОА; б) ВОМ; в) АОВ?

677'. Чи правильно, що:

1) кут правильного n-кутника дорівнює:

2) центральний кут правильного n-кутника дорівнює:

Мал. 198

678°. Знайдіть периметр правильного n-кутника зі стороною 4 см, якщо:

1) n = 5; 2) n = 8;  3) n = 10.

679°. Які з тверджень є правильними:

1) многокутник є правильним, якщо всі його сторони — рівні;

2) будь-який чотирикутник з рівними кутами є правильним;

3) трикутник є правильним, якщо всі його кути — рівні;

4) будь-який рівносторонній трикутник є правильним?

Відповідь поясніть.

680°. Знайдіть радіус кола, вписаного в квадрат, якщо периметр квадрата дорівнює:

1)12см;   2) 16 см; 3 )Р.

681 °. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює:

1) 8 см;   2) 16 см; 3) d.

682°. Обчисліть кут правильного n-кутника, якщо:

1) n = 5;   2)n = 12.

683°. Обчисліть кут правильного 18-кутника.

684°. Знайдіть центральний кут правильного n-кутника, якщо:

1) n = 20;   2) n = 24.

685°. Знайдіть центральний кут правильного 10-кутника.

686°. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо його центральний кут дорівнює:

1)36°;   2)120°; 3)30°?

687. Знайдіть кількість сторін правильного n-кутника, якщо його кут дорівнює:

1) 135°;  2) 150°; 3) 140°.

688. На малюнку 198 ZBAK — зовнішній кут правильного n-кутника ABCD… F. Знайдіть кут цього n-кутника, якщо його зовнішній кут дорівнює:

1) 60°;   2) 26°; 3) 34°.

689. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо кожний з його зовнішніх кутів дорівнює:

1) 10°;   2) 36°; 3) 18°?

690. а — кут правильного n-кутника, Р — його центральний кут і у — зовнішній кут. Накресліть у зошиті таблицю 21 і заповніть її.

Таблиця 21

Мал. 198

691. Доведіть, що центральний кут правильного n-кутника дорівнює його зовнішньому куту.

692. Центральний кут правильного многокутника та його кут у сумі становлять 180°. Доведіть.

693. Знайдіть відношення градусної міри кута правильного n-кутника до градусної міри його зовнішнього кута.

694. У скільки разів кут правильного n-кутника більший за його зовнішній кут, якщо:

1) n = 10;  2) n = 20?

695. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо:

1) радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони многокутника;

2) радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного кола?

696. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо його кут:

1) у 3 рази більший за зовнішній кут;

2) у 5 разів більший за центральний кут?

697. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо його кут і зовнішній кут відносяться, як:

1) 5 : 2;  2)3 : 2?

698. Який найбільший центральний кут може мати правильний многокутник?

699. 1) У коло вписано многокутник, усі сторони якого рівні. Чи рівні його кути? Відповідь поясніть.

2) У коло вписано многокутник, усі кути якого рівні. Чи рівні його сторони? Відповідь поясніть.

700. Два рівні кола перетинаються так, що центр одного кола лежить на другому колі. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, вершинами якого є точки перетину та центри даних кіл?

Відповідь поясніть.

701. Знайдіть кут між двома несусідніми сторонами правильного шестикутника (мал. 199).

Мал. 199

702. Дано правильний п’ятикутник. Доведіть: 1) усі його діагоналі — рівні; 2) кожна діагональ паралельна одній з його сторін; 3) на кожній з діагоналей, що перетинаються, є відрізок, що дорівнює стороні п’ятикутника.

703. ABCDEFGH — правильний восьмикутник (мал. 200). Доведіть, що точки К, L, М, N — вершини квадрата.

Мал. 200

704. ABCDEFMN — правильний восьмикутник. Доведіть, що точки А, С, Е і М є вершинами квадрата.

705*. П’ятикутник ABCDE — правильний (мал. 201). Доведіть, що п’ятикутник FGHKL — теж правильний.

Мал. 201

706*. Доведіть, що середини сторін правильного n-кутника є вершинами іншого правильного n-кутника.

707*. Обчисліть кут між сторонами AB i DE правильного дев’ятикутника (мал. 202).

708*. Від кожної вершини квадрата зі стороною а на його сторонах відкладено відрізки, що дорівнюють половині його діагоналі (мал. 203). Здобуті 8 точок послідовно сполучено відрізками. Доведіть, що утворений восьмикутник — правильний.

709*. Доведіть, що сума відстаней від довільної точки всередині правильного n-кутника до його сторін не залежить від вибору точки.

710*. Два рівні кола перетинаються так, що центр одного кола лежить на другому колі. Через одну точку їх перетину проведено спільну січну. Дві інші точки перетину січної з колами сполучено відрізками з другою точкою перетину кіл. Якого виду трикутник утворився при цьому?

Мал. 202

Проявіть компетентність

711. Доведіть, що підлогу можна покрити плитками, які мають форму правильних трикутників, чотирикутників або шестикутників.

712. Підлогу покрили плитками, які мають форму правильних чотирикутників і восьмикутників (мал. 204). Поясніть, чому можливе таке покриття.

Мал. 203

Мал. 204