Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площу круга

§ 16. РАДІУСИ ОПИСАНИХ І ВПИСАНИХ КІЛ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ

1. ФОРМУЛИ ДЛЯ РАДІУСІВ ОПИСАНИХ І ВПИСАНИХ КІЛ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ

Знайдемо радіус R описаного кола та радіус r вписаного кола для правильного n-кутника зі стороною а. Нехай сторона правильного n-кутника AB = a, OA = R, OC = r (мал. 205). У рівнобедреному трикутнику AOB висота OC є його медіаною й бісектрисою, тому

Із прямокутного трикутника АОС знаходимо:

У правильному трикутнику:

Мал. 205

У правильному чотирикутнику (квадраті):

У правильному шестикутнику:

Формули для радіусів описаних і вписаних кіл правильних n-кутників подано в таблиці 22.

Таблиця 22

Задача. Виразіть сторону аn правильного n-кутника через радіус R ¹ описаного навколо нього кола й радіус г вписаного кола.

Обчисліть a , якщо n = 3, 4, 6.

Розв’язання

Із формули

знаходимо:

Підставивши в цю формулу замість n числа 3, 4, 6, одержимо формули, що виражають через радіуси описаних кіл сторони правильного трикутника, чотирикутника й шестикутника:

Із формули

знаходимо:

Зокрема,

Пам’ятайте, що за однією з величин — a_n, r чи R — можна обчислити дві інші.

2. ПОБУДОВА ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ

Для побудови правильного n-кутника використовують описане навколо нього коло.

Задача 1 . Побудуйте правильний шестикутник.

Розв’язання. Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу R описаного навколо нього кола. Проводимо коло радіуса R і позначаємо на ньому довільну точку A₁ (мал. 206). Потім, не змінюючи розхилу циркуля, будуємо на колі точки A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ так, щоб виконувалася рівність ◡AA₂ = ◡A₂A₃ = ◡AgA₄ = ◡A₄A₅ = ◡A₅A₆. Послідовно сполучивши відрізками побудовані точки, одержимо правильний шестикутник.

Мал. 206

Щоб побудувати правильний n-кутник, поділіть коло на п рівних частин і послідовно сполучіть точки поділу.

Задача 2. Побудуйте правильний трикутник.

Розв’язання. Будуємо спочатку правильний шестикутник (задача 1), а потім сполучаємо відрізками його вершини через одну (мал. 207).

Мал. 207

Задача 3. Побудуйте правильний чотирикутник.

Розв’язання. Креслимо коло й через його центр проводимо дві перпендикулярні прямі (мал. 208). Вони перетнуть коло в чотирьох точках — вершинах квадрата.

Мал. 208

Чи можна побудувати інші правильні n-кутники? Так. Якщо ви побудували правильний n-кутник, то легко побудуєте і правильний 2N-КУТНИК.

Наприклад, побудуємо правильний 8-кутник. Будуємо правильний чотирикутник (задача 3). Проводимо до його сторін серединні перпендикуляри (мал. 209). Точки перетину серединних перпендикулярів з колом разом з вершинами чотирикутника й будуть вершинами правильного 8-кутника. Цим самим способом можна побудувати правильний 16-кутник, правильний 32-кутник і т. д.

Мал. 209

Дізнайтеся більше

Знайдемо площу правильного n-кутника, якщо дано:

1) радіус R описаного кола;

2) радіус r вписаного кола;

3)сторону а.

Подивіться на малюнок 210. Площа правильного n-кутника S = n ∙ S_AOB.

¹) S_∆AOB = AO ∙ BO ∙ sin ∠AOB (мал. 210).

Але AO = BO = R, ∠AOB = .

Тому S_∆AOB = R ² ∙ sin .

Отже, площа правильного n-кутника дорівнює:

2) (мал. 210). Оскільки то

Отже,

3) (мал. 210).

Мал. 210

Оскільки

Припадайте головне

1. Виведіть формули для радіусів вписаного й описаного кіл правильного n-кутника.

2. За якими формулами знаходять радіуси вписаного й описаного кіл для правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника?

3. За якими формулами знаходять сторону правильного n-кутника через радіуси вписаного й описаного кіл?

4. Як побудувати правильний шестикутник; трикутник; чотирикутник?

Розв'яжіть задачі

713'. Чи правильно записано формулу для знаходження радіусів описаних і вписаних кіл через сторону правильного n-кутника:

714'. Чи правильно записано формулу для знаходження радіусів описаних і вписаних кіл через сторону а:

1)правильного трикутника:

2)правильного чотирикутника:

3) правильного шестикутника:

715°. На малюнках 211, 212 зображено правильні многокутники, вписані в коло. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

Мал. 211

Мал. 212

Мал. 213

716°. На малюнку 213 зображено правильний шестикутник, вписаний у коло. За даними на малюнку знайдіть радіус кола.

717°. На малюнках 214, 215 зображено правильні многокутники, описані навколо кола. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

Мал. 214

Мал. 215

718°. На малюнку 216 зображено правильний шестикутник, описаний навколо кола. За даними на малюнку знайдіть радіус кола.

719°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює:

1) 4 см;   2) 5 см;  3)6 см.

720°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює:

1) 2 см;   2) 8 см;  3) 3 см.

721°. Обчисліть радіус кола, вписаного в правильний трикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює:

1) 10 см;   2) 12 см; 3) 16 см.

722°. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює діаметру вписаного в нього кола.

723°. a — сторона правильного трикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 23 й заповніть її.

Мал. 216

Таблиця 23

724°. У квадрат вписано коло, радіус якого дорівнює 4 см. Обчисліть:

1) сторону квадрата;

2) радіус кола, описаного навколо квадрата.

725°. Знайдіть радіус кола, вписаного у квадрат, якщо його периметр дорівнює:

1) 12 см;   2) 16 см; 3) 20 см.

726°. Обчисліть периметр квадрата, якщо радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює:

1) см;   2) 2см; 3) 6см.

727°. а — сторона правильного чотирикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 24 й заповніть її.

Таблиця 24

Мал. 217

728°. Знайдіть периметр правильного шестикутника, якщо радіус описаного кола дорівнює:

1) 4 см; 2) 5 см; 3) 7 см.

729°. Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює:

1) см; 2) 4 см; 3) 1 см.

730°. Обчисліть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює:

1) см; 2) 6см; 3) 10 см.

731°. На малюнку 217 показано побудову правильного шестикутника. Поясніть побудову.

732°. Побудуйте правильний трикутник, дотримуючись плану:

1) циркулем накресліть коло;

2) не змінюючи розхилу циркуля, поділіть коло на шість рівних частин;

3) сполучіть відрізками точки поділу через одну.

733°. Виконайте такі побудови:

1) циркулем накресліть коло із центром О;

2) через точку О проведіть довільну пряму й позначте точки її перетину з колом буквами А і В;

3) через точку О проведіть пряму, перпендикулярну до прямої АВ; точки перетину цієї прямої з колом позначте буквами С і D;

4) послідовно сполучіть відрізками точки А, В, С і D.

Як називається побудований многокутник?

734°. Побудуйте правильний шестикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

735°. Впишіть у коло квадрат, якщо радіус кола дорівнює:

1)3см;   2) 4 см;  3) 5 см.

736°. Впишіть у коло правильний:

1) шестикутник;

2) трикутник;

3) чотирикутник.

737°. Опишіть навколо кола правильний:

1) шестикутник;

2) трикутник;

3) чотирикутник.

738. a — сторона правильного шестикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 25 і заповніть її.

Таблиця 25

739. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо різниця між радіусами кіл, описаного навколо правильного трикутника і вписаного в нього, дорівнює:

1) R см; 2) m.

740. Обчисліть радіуси кіл, вписаного в правильний трикутник й описаного навколо нього, якщо їхня різниця дорівнює:

1) 4 см;

2) n.

741. Знайдіть радіуси кіл, вписаного у квадрат й описаного навколо нього, якщо їхній добуток дорівнює:

1) 4;   2) .

742. Обчисліть радіуси кіл, описаного навколо правильного шестикутника і вписаного в нього, якщо їхня різниця дорівнює:

1) 3 см; 3) m.

2) 5 см;

743. У коло вписано правильний трикутник і квадрат. Знайдіть сторону квадрата, якщо периметр трикутника дорівнює:

1) 9 см; 3) Р.

2) 27 см;

744. Знайдіть сторону правильного шестикутника, вписаного в коло, якщо сторона правильного трикутника, описаного навколо цього кола, дорівнює:

1) 10 см;  3) а.

2) 2 см;

745. Обчисліть сторону квадрата, описаного навколо кола, якщо сторона правильного шестикутника, вписаного в це коло, дорівнює:

1) 15 см;   3) а.

2) 17 см;

746. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо кола, якщо сторона правильного трикутника, вписаного в це коло, дорівнює:

1) 21 см;   3) а.

2) 18 см;

747. Навколо кола описано квадрат і правильний шестикутник. Знайдіть периметр квадрата, якщо периметр шестикутника дорівнює:

1) 12 см;  3) Р.

2) 36 см;

748. Обчисліть сторону правильного шестикутника, радіуси описаного і вписаного кіл, якщо більша діагональ шестикутника дорівнює:

1) 6 см;

2) 8 см;

3) d.

749. Знайдіть сторону правильного шестикутника та радіус вписаного кола, якщо його менша діагональ дорівнює:

1) 10 3 см;

2) 12 73 см;

3) d.

750. Знайдіть діагоналі правильного шестикутника, якщо його сторона дорівнює:

1) 2 см;   3) а.

2) 8 см;

751. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного кола стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо хорда дорівнює:

1) 9 см;   3) а.

2) 3 см;

752. Сторона якого правильного вписаного в коло n-кутника є хордою, перпендикулярною до радіуса в його середині? Відповідь поясніть.

753. У якого правильного многокутника радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони?

754. На сторонах правильного трикутника поза ним побудовано квадрати. Чи є вершини квадратів вершинами правильного шестикутника? Відповідь поясніть.

755. Побудуйте правильний шестикутник, якщо його більша діагональ дорівнює:

1) 8 см; 3) 12 см.

2) 10 см;

756. Побудуйте правильний чотирикутник, якщо його сторона дорівнює:

1) 2см;  2) 3см.

757*. Через середини двох суміжних сторін правильного чотирикутника, вписаного в коло радіуса R, проведено хорду. Яка довжина цієї хорди, якщо:

1) R = 4 см;  2) R = 6 см?

758*. У коло радіуса R вписано правильний n-кутник і середини його сторін послідовно сполучено. Знайдіть сторону утвореного многокутника, якщо:

1) n = 6;   2) n = 8.

759*. За яких значень n сторона правильного n-кутника:

1) більша за радіус описаного кола;

2) дорівнює радіусу описаного кола;

3) менша від радіуса описаного кола?

760*. Три рівні кола, що попарно дотикаються одне до одного, зовні дотикаються до кола радіуса R. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо:

1) R = 2 см;

2) R = 4 см.

761*. У правильному восьмикутнику зі стороною а сполучено середини чотирьох сторін, узятих через одну, так, що утворився квадрат. Знайдіть сторону цього квадрата.

762*. У правильному 12-кутнику зі стороною а сполучено середини шести сторін, узятих через одну, так, що утворився правильний шестикутник. Знайдіть його сторону.

де a₈ і r₈ — відповідно сторона правильного 8-кутника й радіус вписаного в нього кола; R — радіус описаного кола.

764*. Доведіть, що:

де a₁₂ і r₁₂ — відповідно сторона правильного 12-кутника й радіус вписаного в нього кола; R — радіус описаного кола.

765*. Знайдіть радіус кола, описаного навколо правильного n-кутника зі стороною а, якщо:

1) n = 8;   2) n = 12.

766*. Побудуйте трикутник так, як показано на малюнку 218. Доведіть, що ∆АВС — правильний.

767*. Побудуйте правильний восьмикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

768*. Побудуйте правильний 12-кутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

Мал. 218

Проявіть компетентність

769. Знайдіть розмір отвору h ключа для правильної шестигранної гайки, якщо ширина грані гайки а = 2,5 см (мал. 219). Величина зазору між гранями гайки та ключа дорівнює 0,5 мм.

770. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному перерізі половину правильного восьмикутника (мал. 220). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати ABCDE, якщо AE = 6 м.

771. На квадратній ділянці землі потрібно розбити клумбу для квітів у формі правильного восьмикутника. Запропонуйте спосіб побудови такої клумби.

772*. Як розбити клумбу для квітів у формі п’ятикутної зірки?

Мал. 219

Мал. 220