Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

5. Нерівності з однією змінною. Розв’язування нерівностей

1. Поняття нерівності з однією змінною та її розв’язку. Розглянемо задачу.

Задача. Довжина ділянки прямокутної форми на 5 м більша від ширини. Якими можуть бути розміри ділянки, якщо для її обгородження вистачило 46 м сітки?

Нехай ширина ділянки дорівнює х м, тоді довжина дорівнює (х + 5) м, а периметр — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). За умовою периметр не перевищує 46 м, тобто 4х + 10 ≤ 46.

Ми одержали нерівність, яка містить змінну х. Якщо в нерівність замість х підставляти деякі числа, то одержуватимемо числові нерівності, які можуть бути правильними або неправильними. Наприклад:

якщо х = 5, то матимемо нерівність 4 ∙ 5 + 10 ≤ 46, яка є правильною; якщо х = 10, то матимемо нерівність 4 ∙ 10 + 10 ≤ 46, яка є неправильною. Кажуть, що число 5 є розв’язком даної нерівності, або задовольняє дану нерівність, а число 10 не є її розв’язком.

Означення

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Нерівність з однією змінною переважно має безліч розв’язків. Так, розв’язками нерівності х > 1 є усі дійсні числа, які більші від 1. Тому множиною розв’язків цієї нерівності є проміжок (1; +∞).

2. Розв’язування нерівностей з однією змінною. Рівносильні нерівності. Розв’язуючи нерівність, її перетворюють, замінюючи простішими нерівностями з тими самими розв’язками.

Нерівності, які мають ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, теж називають рівносильними.

Заміну нерівності рівносильними їй нерівностями виконують на основі таких властивостей:

1) якщо виконати тотожне перетворення деякої частини нерівності, яке не змінює допустимі значення змінної, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

2) якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

3) якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній;

4) якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Користуючись цими властивостями, розв’яжемо одержану нами нерівність 4х + 10 ≤ 46.

Перенесемо доданок 10 з лівої частини нерівності у праву, змінивши його знак на протилежний, одержимо нерівність 4х ≤ 46 - 10, яка рівносильна заданій нерівності.

У правій частині нерівності 4х ≤ 46 - 10 зведемо подібні доданки:

4х ≤ 36.

Поділимо обидві частини останньої нерівності на 4, одержимо нерівність х ≤ 9.

Отже, нерівність 4х + 10 ≤ 46 рівносильна нерівності х ≤ 9 і її задовольняють усі числа, які не більші від 9 (див. рис. 18). Множиною розв’язків даної нерівності є проміжок (-да; 9].

Рис. 18

Повернімося до задачі. Ширину ділянки ми позначили через х м. Оскільки ширина має виражатися додатним числом, то х може дорівнювати будь-якому числу з проміжку (0; 9]. Отже, щодо розмірів ділянки можна сказати, що її ширина не повинна перевищувати 9 м, довжина ж на 5 м більша від неї.

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Розв’язати нерівність і зобразити множину її розв’язків на координатній прямій.

• Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів, які входять до нерівності, тобто на 18. Матимемо:

Відповідь. х ≤ 4,2, або по-іншому (-∞; 4,2]. •

Вправа 2. Розв’язати нерівність

• Помножимо всі частини нерівності на 2:

-4 ≤ 3х - 1 ≤ 14.

Додамо до всіх частин нерівності число 1:

-3 ≤ 3х ≤ 15.

Поділимо всі частини нерівності на 3:

-1 ≤ х ≤ 5.

Відповідь. -1 ≤ х ≤ 5, або по-іншому [-1; 5]. •

Вправа 3. Розв’язати нерівність:

а) |2х - 3| ≤ 5;

б) |3х - 1| < -4;

в) |2х - 1| > 5.

• а) Розв’язками нерівності |2х - 3| ≤ 5 є числа, які задовольняють подвійну нерівність

-5 ≤ 2х - 3 ≤ 5.

Додавши до всіх частин нерівності число 3, матимемо:

-2 ≤ 2х ≤ 8;

-1 ≤ х ≤ 4.

Відповідь. -1 ≤ х ≤ 4, або по-іншому [-1; 4].

б) Модуль числа — число невід’ємне, тому модуль числа не може бути меншим від -4. Отже, нерівність |3х - 1| < -4 розв’язків не має.

Відповідь. Розв’язків немає.

в) Вираз 2х - 1, який стоїть під знаком модуля, повинен набувати значень, які менші від -5 або більші від 5. Отже, 2х - 1 < -5 або 2х - 1 > 5.

Якщо потрібно знайти усі значення х, які задовольняють нерівність 2х - 1 < -5 або нерівність 2х - 1 > 5, то кажуть, що потрібно розв’язати сукупність нерівностей, яку записують так:

Розв’язуючи кожну нерівність сукупності, матимемо:

Розв’язками сукупності є значення х, які задовольняють нерівність х < -2 або нерівність х > 3.

Відповідь. х < -2 або х > 3. (Відповідь можна записати й у вигляді об’єднання проміжків: (-∞; -2) ∪ (3; +∞).) •

Усно

146. Які з чисел -2; 0; 1; 5 є розв’язками нерівності 3х + 1 > 2?

147. Чи рівносильні нерівності:

а) 2(х - 1) > 1 і 2х - 2 > 1;

б) 5х + 1 > 0 і 5х > 1;

в) 3х < 0 і х < 0;

г) -2х > 4 і х > -2?

148. Поясніть кожний крок розв’язання нерівності:

Рівень А

149. Чи є число -4 розв’язком нерівності:

а) х + 5 > 0;

б) х² < 10;

в) 4х ≤ х;

г) -5x + 1 < -6x?

150. Які з чисел -1; 0,5; 8; 10 є розв’язками нерівності 3(х - 2) > 2х + 1?

Розв’яжіть нерівність, зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій та запишіть цю множину у вигляді числового проміжку:

151.

а) х - 5 > 0;

б) х + 7 < 0;

в) х - 3,2 < 0;

г) х + 5,3 ≥ 0.

152.

а) 2х < 5;

б) 3х ≥ -15;

в) -3х < -12;

г) -0,5х ≤ 0.

153.

а) х - 2 < 0;

б) х + 3,5 ≥ 0;

в) 5х ≥ 15;

г) -2х < 4.

154. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності -8х > -4.

155. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності 4х ≥ 15.

Розв’яжіть нерівність:

156.

а) 5х + 25 ≤ 0;

б) 7 - 4х > 15;

в) 9 + х ≥ 3 - х;

г) 19 + 2х < 5 + 9х.

157.

а) 8х - 7 > 9;

б) 12 - 3х ≤ 9;

в) 2х - 1 > 5 - х;

г) 3 - х > 7 + 3х.

158.

159.

160. Розв’яжіть нерівність 9х - 5 > 4х + 3. Запишіть три значення х, які є розв’язками цієї нерівності.

161. Розв’яжіть нерівність 11 - 2х ≤ 15 - 4х. Чи є розв’язками цієї нерівності числа -3; 2?

Рівень Б

Розв’яжіть нерівність:

162.

163.

Розв’яжіть подвійну нерівність:

164.

165.

Розв’яжіть нерівність:

166.

167.

168. Скільки цілих розв’язків має нерівність -15 < -4х < 14?

169. Скільки натуральних розв’язків має нерівність -0,04|х| ≥ -1?

170. На рисунку 19 зображено графіки функцій

а) Для яких значень х графік функції

розташований нижче від графіка функції у = -х + 2?

б) Укажіть множину розв’язків нерівності

Рис. 19

Розв’яжіть графічно нерівність:

171.

172.

173. Основа рівнобедреного трикутника на 7 см коротша від бічної сторони. Якою може бути довжина бічної сторони цього трикутника, якщо його периметр більший від 23 см і менший від 29 см?

174. Довжина прямокутника на 11 см більша від ширини. Якою може бути довжина прямокутника, якщо його периметр більший від 62 см і менший від 66 см?

Рівень В

175. Знайдіть усі значення параметра а, для яких одним з розв’язків нерівності а(х - 2) ≥ (а + 1)х є число 4.

176. Знайдіть усі значення параметра b, для яких множиною розв’язків нерівності є проміжок (-да; 2).

177. Знайдіть усі значення а, для яких проміжок [-2; 8] є підмножиною множини розв’язків нерівності х - 1 > 2а.

178. Розв’яжіть нерівність:

Вправи для повторення

179. Розв’яжіть рівняння:

а) 0 ∙ х = 5;

б) 0 ∙ x = 0;

180. Скоротіть дріб:

181. Доведіть, що значення виразу не залежать від допустимих значень b.

182. Станція київського метро «Арсенальна» — найглибша станція метрополітену в світі — розташована на глибині 105 м. Глибина станції «Хрещатик» дорівнює 70 м. На скільки відсотків глибина станції «Арсенальна» більша від глибини станції «Хрещатик»?

183. За течією річки катер пройшов за 7 год такий шлях, який він проходить за 8 год проти течії. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість катера у стоячій воді дорівнює 30 км/год.

Поміркуйте

184. Було 4 аркуші паперу. Деякі з них розрізали на 8 частин, потім деякі з цих частин розрізали знову на 8 частин і т. д. Коли підрахували загальну кількість частин, то їх виявилося 1000. Доведіть, що підрахунок був неправильним.