Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

4. Числові проміжки. Об'єднання та переріз множин

1. Числові проміжки. Множина всіх дійсних чисел R має багато підмножин, зокрема її підмножинами є:

множина всіх натуральних чисел; множина всіх раціональних чисел;

множина М = {-1; 0; };

множина всіх дійсних чисел, які більші від 4;

множина всіх дійсних чисел, які більші від -2 і менші від 3.

Дві останні підмножини задані за допомогою співвідношень «>», «<». Зупинимося на таких підмножинах детальніше.

1) Множину всіх дійсних чисел, які більші від -2 і менші від 3, називають числовим проміжком, або просто проміжком, і позначають (-2; 3) (читають: «проміжок від -2 до 3»). Точки координатної прямої, які зображують числа цього проміжку, розташовані між точками, які зображують числа -2 і 3. Сам проміжок зображують одним із двох способів, показаних на рисунку 4.

Рис. 4

Проміжок заштриховують або обводять дужкою, точки -2 і 3 зображують «порожніми» («виколотими»).

Проміжок (-2; 3) утворюють усі дійсні числа х, для яких виконується подвійна нерівність -2 < x < 3. Тому кажуть, що даний проміжок задає нерівність -2 < x < 3. Для числа х = 2,2 ця нерівність є правильною, а для числа х = 4 — ні. Тому 2,2 є (-2; 3), а 4 g (-2; 3).

Рис. 5

Множину всіх дійсних чисел, які не менші від -2 і не більші від 3, тобто для яких виконується подвійна нерівність -2 < x < 3, позначають [-2; 3] (читають: «проміжок від -2 до 3, включаючи -2 і 3»). На координатній прямій цей проміжок зображують так:

Рис. 6

Звернемо увагу, що в позначеннях проміжку квадратна дужка біля числа вказує на те, що це число належить проміжку, а кругла — що не належить.

Так, [-2; 3) — проміжок від -2 до 3, включаючи -2, а (-2; 3] — проміжок від -2 до 3, включаючи 3. Ці проміжки задають відповідно нерівності -2 < x < 3 і -2 < x < 3, а зображують їх на координатній прямій так:

Рис. 7

Рис. 8

2) Розглянемо множину всіх дійсних чисел, які більші від 4. Точки координатної прямої, які зображують такі числа, розташовані праворуч від точки, яка зображує число 4. Тому дану множину зображують променем, що розміщений праворуч від точки, яка зображує число 4, без цієї точки (див. рис. 9). Таку множину називають проміжком від 4 до плюс нескінченності й позначають (4; +∞). Цей проміжок задає нерівність x > 4.

Рис. 9

Рис. 10

На рисунках 10-12 зображено відповідно проміжки:

[4; +∞) — проміжок від 4 до плюс нескінченності, включаючи 4; (-∞; 8) — проміжок від мінус нескінченності до 8;

(-∞; 8] — проміжок від мінус нескінченності до 8, включаючи 8.

Рис. 11

Рис. 12

Підсумок: числові проміжки

Множину всіх дійсних чисел зображують усією координатною прямою і позначають так: (-∞; +∞).

2. Об’єднання та переріз множин. Розглянемо два проміжки [-1; 4) і (2; 7), зображені на рисунку 13.

Рис. 13

Усі числа, які належать проміжку [-1; 4) або проміжку (2; 7), утворюють проміжок [-1; 7). Кажуть, що проміжок [-1; 7) є об’єднанням проміжків [-1; 4) і (2; 7).

Означення

Об’єднанням множин А і В називають таку множину S, яка складається з усіх тих елементів, які належать множині А або множині В.

У такому разі записують: S = A ∪ B, де «∪ » — знак об’єднання. На рисунку 14 зображено множини А і В та заштриховано їх об’єднання. Можна сказати, що об’єднання множин А і В утворюють усі елементи множини А, усі елементи множини В і тільки вони.

Для проміжків [-1; 4) і (2; 7) маємо: [-1; 4) ∪ (2; 7) = [-1; 7).

Рис. 14

Рис. 15

Усі числа, які належать проміжку [-1; 4) і проміжку (2; 7) (спільні числа проміжків), утворюють проміжок (2; 4). Кажуть, що проміжок (2; 4) є перерізом проміжків [-1; 4) і (2; 7).

Означення

Перерізом множин А і В називають таку множину Р, яка складається з усіх тих елементів, які належать одночасно множині А і множині В.

Записують: Р = A ∩ B, де «∩» — знак перерізу. На рисунку 15 зображено множини А і В та заштриховано їх переріз. Можна сказати, що перерізом множин А і В є множинавсіх спільних елементів цих множин.

Для проміжків [-1; 4) і (2; 7) маємо: [-1; 4) ∩ (2; 7) = (2; 4).

Проміжки [-1; 4) і (5; + ∞) не мають спільних елементів. Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною і позначають символом 0. Отже, [-1; 4) ∩ (5; +∞) = 0.

Приклади розв'язання вправ

Вправа 1. Знайти об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

а) А = {2; 3; 5}, B = {1; 3; 5; 7};

б) А = (-2; 2], В = (-∞; -1] ∪ [2; + ∞).

• а) A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7} — записали усі елементи, які належать множині A або множині B;

A ∩ B = {3; 5} — записали всі спільні елементи множин A і B.

б) Зобразимо дані множини на координатній прямій (над прямою заштриховані елементи множини А, під прямою — множини В).

А ∪ В = (-∞; + ∞); А ∩ В = (-2; -1] ∪ {2}. •

Вправа 2. Зобразити на координатній прямій множину всіх дійсних чисел, для яких виконується нерівність, і записати цю множину у вигляді проміжку або об’ єднання проміжків:

а) |х| < 5; б) |х| > 5.

• а) Модулем числа х є відстань від початку відліку до точки, що зображує число х на координатній прямій. Тому нерівність |х| < 5 виконується для всіх тих чисел, яким відповідають точки координатної прямої, що розташовані від початку відліку на відстанях, які не перевищують 5.

Отже, дана множина є проміжком [-5; 5].

б) Нерівність |х| > 5 виконується для всіх тих чисел, яким відповідають точки координатної прямої, що розташовані від початку відліку на відстанях, які не менші від 5.

Отже, даною множиною є об’єднання проміжків (-∞; -5] і [5; +∞), тобто (-∞; -5] ∪ [5; + ∞). •

Вправа 3. Дано множини А = {2; 4; 5}, В = {4; 5; 6}, С = {5; 6; 7; 8}. Знайти:

а) А ∪ (B ∩ С);

б) (А ∪ B) ∩ (А u С).

• Послідовно знаходимо:

а) B ∩ С = {5; 6}; А u (B ∩ С) = {2; 4; 5; 6};

б) А ∪ B = {2; 4; 5; 6}; А ∪ С = {2; 4; 5; 6; 7; 8};

(А ∪ B) ∩ (А ∪ С) = {2; 4; 5; 6}. •

Усно

109. Назвіть проміжки, зображені на рисунку 16.

Рис. 16

110. Які з чисел -3; 0; 4 належать числовому проміжку:

а) [-2; 4];

б) (-3; 4);

в) (-∞; 1);

г) [-3; +)?

111. Укажіть найменше та найбільше цілі числа, які належать проміжку:

а) [-1; 8];

б) (5; 7];

в) (-3; 1);

г) [-3,5; -1).

112. Укажіть об’єднання та переріз проміжків, зображених на рисунку 17.

Рис. 17

113. Знайдіть об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

а) А = {-1; 2; 3}, B = {-1; 1; 3};

б) А = [2; 5], B = [0; 4].

Рівень А

Зобразіть на координатній прямій проміжок і запишіть нерівність, яка його задає:

114.

а) [-2; 4);

б) (-∞; 3];

в) (2; + ∞);

г) (3; 7].

115.

а) [-1; 3];

б) (2; 6];

в) [3; + ∞);

г) (-∞; 1).

Зобразіть на координатній прямій множину всіх дійсних чисел, для яких виконується нерівність, і запишіть цю множину у вигляді проміжку:

116.

а) х > 3;

б) х < 4;

в) -1 < x < 3;

г) 1 < x < 5.

117. а) х < -1;

б) х > 5;

в) 0 < х < 6;

г) -1 < х < 4.

118. Запишіть усі натуральні числа, які належать проміжку:

а) (-7; 3);

б) (-∞; 5);

в) (5; 10];

г) (-∞; 7].

119. Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:

а) (-1; 5);

б) [5; 12);

в) (-4; 2];

г) (0; 7).

Укажіть, якщо можливо, найменше та найбільше цілі числа, які належать проміжку:

120.

а) [5; 11);

б) (8; 20];

в) [-3; +∞);

г) (-∞; 2).

121. а) (3; 8];

б) [-4; 5];

в) (-∞; 3];

г) (0; +∞).

122. Знайдіть об’єднання та переріз множин В і С, якщо:

а) В = {2; 5; 10; 12; 15}, С = {5; 10; 15; 20};

б) В = {-2; -1; 0; 1}, С = {-3; 3; 6};

в) В = {2; 3}, С = {3; 2};

г) В = {а; d; f; g}, С = {b; c; d; e; h}.

123. Знайдіть об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

а) А = {-3; -1; 1; 3}, B = {0; 1; 2; 3};

б) А = {5; 8; 10; 15}, B = {4; 9; 12};

в) А = {а; б; в; г; д}, B = {в; о; д; а}.

Зобразіть на координатній прямій проміжки і знайдіть їх об’єднання та переріз:

124.

а) [-1; 2] і (1; 3);

б) [3; 4) і [2; 4);

в) (-∞; 1) і [0; 2];

г) (-∞; -1] і [-2; + ∞);

д) (-∞; 1) і [2; + ∞);

е) (2; +∞) і [-2; + ∞).

125.

а) [-4; 0) і [-2; 2);

б) (-1; 4) і [0; 3];

в) (-∞; 3] і [1; + ∞);

г) (-∞; -1] і (-∞; 2).

Рівень Б

126. Відомо, що a < b < c < d. Знайдіть об’єднання та переріз проміжків:

а) [a; c) і (b; d);

б) (a; b] і (b; d];

в) (-∞; c) і (a; d];

г) (-∞; b] і (c; + ∞).

127. Відомо, що m < n < к. Знайдіть об’єднання та переріз проміжків:

а) [m; n) і [n; к);

б) (-да; n) і (m; к].

128. Знайдіть об’єднання та переріз множин Mі K, якщо:

а) M = [-1,5; 2], K = (-∞; 0) ∪ (1,5; +∞);

б) M = (-∞; -3] ∪ [2; +∞), K = (-3; 2];

в) M = (-∞; -1] ∪ [3; +∞), K = (-∞; -2) ∪ (1; +∞).

129. Знайдіть об’єднання та переріз множин A і B, якщо:

а) А = [-4; 1), В = (-∞; -2,5) ∪ [2; +∞);

б) А = (-∞; 1) ∪ (2; +∞), B = (-∞; -3] ∪ [0; +∞).

Зобразіть на координатній прямій множину всіх дійсних чисел, для яких виконується нерівність, і запишіть цю множину у вигляді проміжку або об’єднання проміжків:

130.

а) |х| < 3;

б) |х| > 4;

в) |х| < 3,5;

г) |х| > 1,5.

131.

а) |х| > 1;

б) |х| < 2,5;

в) |х| < 1,5;

г) |х| > 0,5.

132. Дано множини А = {1; 4; 7}, В = {4; 5; 7}, С = {4; 6; 7}. Доведіть, що для цих множин виконується рівність А ∩ (B ∪ С) = (А ∩ B) ∪ (А ∩ С).

133. Дано множини А = {3; 5}, В = {3; 5; 7}, С = {1; 3; 5; 7}. Доведіть, що для цих множин виконується рівність А ∪ (B ∩ С) = (А ∪ B) ∩ (А ∪ С).

134. Множини А, В та їх переріз складаються відповідно з 8, 7 та 3 елементів. Зі скількох елементів складається об’ єднання множин А і В?

Рівень В

135. Зобразіть на координатній прямій множину всіх дійсних чисел, для яких виконується:

а) нерівність |х| < 3 і нерівність |х| > 1;

б) нерівність |х| < 1 або нерівність |х| > 3;

в) рівність |х| = -х і нерівність |х| > -1;

г) рівність = х або нерівність |х| < 2.

Запишіть кожну множину у вигляді проміжку або об’єднання проміжків.

136. Доведіть, що серед чисел, які належать проміжку (0; 1), не існує найбільшого числа.

137. Відомо, що А ⊂ В. Знайдіть А ∪ В та А ∩ В.

138. Відомо, що А ∪ В = А ∩ В. Чи обов’язково А = В?

139. На математичному турнірі, у якому взяли участь 24 учні, було запропоновано розв’язати 3 задачі. Першу задачу розв’язали 14 учнів, другу — 11, третю — 9, першу і другу — 6, першу і третю — 7, другу і третю — 5, першу, другу і третю — 4. Скільки учнів не розв’язали жодної задачі?

Вправи для повторення

140. Чи є число 5 коренем рівняння:

а) 3 + 2(x - 1) = 2 - 3(2 - x);

141. Розв’яжіть рівняння:

а) 7(2x - 1) - 5x = 11 + 3(3x - 2);

142. Для яких значень а значення дробу дорівнює нулю?

143. Вкладник вніс до банку певну суму грошей і через рік після нарахування 15% річних мав на рахунку 2875 грн. Яку суму вкладник вніс до банку?

144*. З пункту А в пункт B вийшов турист і рухався зі швидкістю 4 км/год. Через годину услід за ним вийшов другий турист і рухався зі швидкістю 5 км/год, а ще через годину з пункту А виїхав велосипедист, який, обігнавши другого туриста, через 10 хв після цього обігнав і першого. Знайдіть швидкість велосипедиста.

Поміркуйте

145. Є смужка розміру 1 х 99. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід потрібно закреслити одну довільну клітинку смужки або деякі дві послідовні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто може забезпечити собі перемогу — той, хто починає гру, чи його суперник?