Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

6. Лінійні нерівності з однією змінною

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Розв’язати нерівність 2(6х + 5) + 3х ≤ 40.

Множину розв’язків нерівності запишемо у вигляді числового проміжку (-∞; 2].

Відповідь. (-∞; 2]. •

Приклад 2. Розв’язати нерівність 4(3x + 7) - 9x > 20 + 3x.

• 12x + 28 - 9x > 20 + 3x;

12x - 9x - 3x > 20 - 28;

0 • x > -8.

Для будь-якого значення x значення лівої частини нерівності 0 • x > -8 дорівнює нулю, а нуль більший від -8. Отже, множиною розв’язків даної нерівності є множина всіх дійсних чисел, тобто проміжок (-да; +да).

Відповідь. (-∞; +∞). •

Приклад 3. Розв’язати нерівність 14x + 17 < 8x + 6(x + 2).

• 14x + 17 < 8x + 6x + 12;

14x - 8x - 6x < 12 - 17;

0 • x < -5.

Нерівність 0 ∙ x < - 5 не має розв’язків, бо для будь-якого x значення її лівої частини дорівнює нулю, а нуль не менший від -5.

Відповідь. Розв’язків немає. •

У результаті перетворень ми звели першу нерівність до нерівності 15x ≤ 30, другу — до нерівності 0 ∙ x > -8, третю — до нерівності 0 ∙ x < -5. Нерівності такого виду називають лінійними нерівностями з однією змінною.

Означення

Нерівності виду ax > b, ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b, де a і b — деякі відомі числа, a x — змінна, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

Якщо а Ф 0, то для розв’язання лінійної нерівності з однією змінною потрібно поділити обидві частини нерівності на а. Якщо а = 0, то або розв’язком нерівності є будь-яке число, або нерівність не має розв’язків.

Залежність множини розв’язків лінійної нерівності виду ax > b від значень коефіцієнтів а і b подано в таблиці.

Приклади розв'язання вправ

Вправа 1. Знайти область визначення функції

• Область визначення функції утворюють усі ті значення х, для яких вираз 8 - 2х набуває невід’ємних значень. Отже, потрібно розв’язати нерівність 8 - 2х ≥ 0. Матимемо:

-2х ≥ -8; х ≤ 4.

Областю визначення функції є проміжок (-∞; 4].

Відповідь. (-∞; 4]. •

Вправа 2. Розв’язати нерівність (а + 3)x < 5 з параметром а.

• Розглянемо три випадки: 1) а + 3 < 0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.

1) Якщо а + 3 < 0, тобто а < -3, то, поділивши обидві частини нерівності на від’ємне число а + 3, одержимо:

2) Якщо а + 3 = 0, тобто а = -3, то матимемо нерівність 0 ∙ x < 5, розв’язком якої є будь-яке число.

3) Якщо а + 3 > 0, тобто а > -3, то

Відповідь. Якщо а < -3, то якщо а = -3, то розв’язком нерівності є будь-яке число; якщо а > -3, то

Усно

185. Розв’яжіть нерівність:

Рівень А

Розв’яжіть нерівність:

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192. Знайдіть усі значення у, для яких значення виразу 2 - 4у є:

а) додатними;

б) меншими від -2.

193. Знайдіть усі значення z, для яких значення виразу 5z - 2 є:

а) від’ємними;

б) більшими від 3.

194. Для яких значень x функція у = 3(15 - 2x) набуває:

а) від’ємних значень;

б) значень, які не менші від 15?

195. Для яких значень x функція у = 2(2x - 7) набуває:

а) невід’ємних значень;

б) значень, які не більші від 4?

196.

197.

198. На пошиття костюма витратили 3,2 м тканини. Яку найбільшу кількість таких костюмів можна пошити, маючи 60 м цієї самої тканини?

199. Маса бетонного блоку дорівнює 350 кг. Яку найбільшу кількість таких блоків може перевезти автомобіль, вантажність якого дорівнює 5 т?

Рівень Б

Розв’яжіть нерівність:

200.

201.

202.

203.

204.

205.

206. Для яких значень x значення дробу менше від відповідного значення дробу

207. Для яких значень у значення дробу більше від відповідного значення дробу

Знайдіть область визначення функції:

208.

209.

210. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х² - 8х + а + 4 = 0 має два різні корені.

211. Для яких значень а рівняння х² + 6х + а - 1 = 0 не має коренів?

212. Довжина однієї сторони трикутника дорівнює 12 см. Якою може бути довжина висоти трикутника, проведеної до цієї сторони, якщо його площа менша, ніж 63 см²?

213. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого дорівнюють 6 см, 7 см і 8 см. Якою може бути висота призми, якщо площа її бічної поверхні менша, ніж 189 см²?

214. Катер пройшов певну відстань по озеру і таку саму відстань річкою, яка впадає в озеро. Якою може бути ця відстань, якщо швидкість катера у стоячій воді дорівнює 20 км/год, швидкість течії річки — 2 км/год, а час руху більший, ніж 1,9 год?

215. Туристи планують здійснити прогулянку річкою на моторному човні та повернутися на базу не пізніше як через 5 годин. На яку відстань вони можуть відплисти від бази за течією річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 15 км/год, а швидкість течії річки — 3 км/год?

Рівень В

216. Знайдіть область визначення функції:

Розв’яжіть нерівність з параметром а:

217.

218.

а) (a + 2)x > 1;

б) (2a + 3)x < 4a² - 9.

219. Чи існують значення a, для яких нерівність a(x + 1) < (2a + 3)x не має розв’язків?

220. Чи існують значення a, для яких розв’язком нерівності (a² + 2a - 3)x ≥a + 3 є будь-яке число?

221. Знайдіть усі значення с, для яких нерівність (2с - 1)x < 1 виконується для всіх від’ємних значень х.

222. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння ax² - 2(a - 1)x + а + 2 = 0 має:

а) два різні корені;

б) не більше одного кореня.

Вправи для повторення

223. Розв’яжіть систему рівнянь:

224. Знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х + 4у = 2 і 2х - 3у = 15.

225. Чи існують значення а, для яких пара чисел (1; -2) є розв’язком системи рівнянь

226. До магазину завезли 5 ящиків слив і 7 ящиків винограду, загальна маса яких дорівнює 89 кг. Знайдіть масу одного ящика слив і масу одного ящика винограду, якщо 1 ящик слив легший від 2 ящиків винограду на 6 кг.

227. Змішали 30%-й і 40%-й розчини сульфатної кислоти й одержали 200 л 34%-го розчину. Скільки літрів кожного з розчинів використали?

Поміркуйте

228. Вісім футболістів забили разом 36 м’ячів, до того ж кожний футболіст забив хоча б один м’яч, а один з них забив щонайменше 9 м’ячів. Доведіть, що деякі два футболісти забили м’ячів порівну.