Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 8. Додавання і віднімання многочленів

Додамо многочлени 7х² - 4х + 9 і - Зх² + 5х - 7. Для цього запишемо їх суму, потім розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

(7х² - 4х + 9) + (-3х² + 5х - 7) = 7х² - 4х + 9 - 3х² + 5х - 7 = 4х² + х + 2.

Ми записали суму многочленів 7х² - 4х + 9 і - Зх² + 5х - 7 у вигляді многочлена 4х² + х + 2. Так само можна додавати три і більше многочленів. Суму будь-яких многочленів завжди можна подати у вигляді многочлена.

Тепер від многочлена 5х² - 8х + 7 віднімемо многочлен 2х² - 6х - 5. Для цього запишемо їх різницю, потім розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

(5х² - 8х + 7) - (2х² - 6х - 5) = 5х² - 8х + 7 - 2х² + 6х + 5 = 3х² - 2х + 12.

Різницю многочленів 5х² - 8х + 7 і 2x² - 6х - 5 ми подали у вигляді многочлена 3х² - 2х + 12. Різницю будь-яких многочленів завжди можна подати у вигляді многочлена.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

(7х - 5) - (2х² + 3х - 7) + (9 - 2х) = 4 - 2х².

Р о з в ’ я з а н н я.

Розкриємо дужки у лівій частині рівняння:

7х - 5 - 2х² - 3х + 7 + 9 - 2х = 4 - 2х².

Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину рівняння, а ті, що не містять змінної, - у праву.

Матимемо:

7х - 2х² - 3х - 2х + 2х² = 4 + 5 - 7 - 9;

2х = -7;

х = -3,5.

Відповідь: -3,5.

Іноді виникає необхідність розв’язати зворотну задачу - записати многочлен у вигляді суми або різниці многочленів. У такому випадку доцільно використовувати правила взяття виразу в дужки, перед якими стоїть знак «плюс» або «мінус», які вивчалися у попередніх класах.

Приклад 2. Записати многочлен а² - b³ - а + b + 5 у вигляді:

1) суми двох многочленів, один з яких містить змінну, а другий її не містить;

2) різниці двох многочленів, перший з яких містить змінну b, а другий її не містить.

Р о з в ’ я з а н н я.

1) а² - b³ - а + b⁷ + 5 = (а² - а) + (-b³ + b⁷+ 5);

2) а² - b³ - а + b⁷ + 5 = (-b³ + b⁷) - (-а² + а - 5).

Як знайти суму многочленів? Як знайти різницю многочленів? Якими правилами користуються, якщо треба записати многочлен у вигляді суми чи різниці многочленів?

217. (Усно) Прочитайте многочлен, який одержимо після розкриття дужок:

1) а + (b - 3);

2) х + (3 - а + b);

З) m - (n - 1);

4) р - (-а² + 3).

218. Знайдіть сумy многочленів:

1) + 3х³ - 1 та 5х³ + 3х² + 7;

2) а³ + 3а² + 1; 2а² - 5 та 6 - 5а².

219. Знайдіть суму многочленів:

1) 3m³ + 5m² - 7 та 2m³ + 6;

2) b² + 3b - 1, 2b - 3b² та 2b² + 7.

220. Знайдіть різницю многочленів:

1) 4р³ + 7р² - р та 2р² + р;

2) m² + 2m - 1 та m³ + 2m - 1.

221. Знайдіть різницю многочленів:

1) 2а³ - 3а² +7 та а³ - 5а² - 8;

2) с4 + с³ - 2 та с³ + 2с² - 2.

222. Знайдіть суму і різницю виразів:

1) х + у і х - у;

2) х - у і -х + у;

3) -х - у і у - x-;

4) х - у і у - х.

223. Знайдіть суму і різницю виразів:

1) 2а - b і 2а + b;

2) 2а - b і -2а + b;

3) -2а - b і 2а + b;

4) 2а - b і b - 2а.

224. Знайдіть суму і різницю многочленів та зведіть до многочлена стандартного вигляду:

1) 3х² - 2х + 1 і 3x² - 4;

2) 2х + 1 і -3х² - 2х - 1;

3) а + 5b і 3а — 5b;

4) m² - 2mn - n² і mn² + n².

225. Запишіть суму і різницю першого і другого многочленів та зведіть її до многочлена стандартного вигляду:

1) bу² + 2у - 10 і 3у² - у + 7;

2) 5m³ - m + 3 і 4m² + m - 4;

3) 5р² - 2pq - 7q2 i 3р² + 2pq + 5 q².

226. Спростіть вираз:

1) (1 + 2р) + (р² - р);

2) (5а² + а³) - (-а + 5а²);

3) (х² - 5х) + (5х - 13);

4) (3b³ - 5b²) - (5 + 3b³ - 2b²).

227. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) (5ab² - 12аb - 7а²b) - (15аb + 8а²b);

2) ( а³b² - ab²) - (- b²a - b²a³);

3) (х + у - z) - (-2х + 3у - z) - (-5у + 4z + х);

4) (2m - 3n) - (4m - 3mn + 3а²) - (5mn - 5а² - 3а).

228. Спростіть вираз:

1) (15х² - 3ху) - (12х² - 5ху + у²);

2) (5а²b - 12аb + 14ab²) - (-5ab + 14ab² - 7а²b);

3) (m + n - 2р) ( 2m + р - 3а) - (4n - 3m - 4р).

229. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х + 2x² - (2х² - 10) = 25;

2) 5 - x² - (2х + 7 - х³) = -8.

230. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х² + 7х - (2х + 5х² - 8) = 8;

2) 2 - 3х³ - (5х - 3х³) = -13.

231. Подайте многочлен у вигляді суми двох многочленів, один з яких містить змінну х, а другий її не містить:

1) ха + b - m - xb;

2) ха² - 17а + 5х + 10b.

232. Запишіть многочлен 5х² - 9х³ + 7х - х⁴ - 1 у вигляді суми двочлена і тричлена. Знайдіть два розв’язки задачі.
233. При якому значенні х:

1) значення різниці одночлена ох і многочлена 3х - 5х² +12 дорівнює значенню многочлена 7х + 5х² - 18;

2) значення різниці многочленів 5x³ + 3х² - х і 2х³ - 2х² + х дорівнює значенню многочлена 5х² + 3х³ + 14?

234. При якому значенні змінної у:

1) сума многочленів 2у³ - 3у + у² та 5у - 2у³ - у² + 7 дорівнює 19;

2) різниця двочлена 5у² 7у і тричлена 2у² - 8у + 9 дорівнює двочлену 3у² - 3у?

235. Подайте многочлен у вигляді різниці двох многочленів, перший з яких містить змінну у, а другий її не містить:

1) -уа + ух + х - у - а + 1;

2) -р² + у² + 2р - 7у - 1.

236. Який многочлен стандартного вигляду потрібно записати замість пропусків, щоб одержати тотожність:

1) -(…) = 4р - q;

2) -(…) = 4m² - р² + 5;

3) (…) + 2m²n - 5mn² = 7m² - 3mn²;

4) 7а²b + 9а³ + ( … ) = 8а²b;

5) 3 + 2а² - 5a +(…) = 9а² - 12;

6) (…) - (4х² - 2ху) = 5 + 5х² - 2ху?

237. Знайдіть многочлен стандартного вигляду, підставивши який замість М, матимемо тотожність:

1) -М = 5а - b² + 7;

2) М + (3а² - 2аb) = 5а² + 3аb - b²;

3) М - (3mn - 4n²) - m² - 4mn + n²;

4) (7а² - b² - 9bа) - М = 0.

238. Велосипедист був у дорозі 4 год. За першу годину він проїхав х км, а за кожну наступну - на 3 км більше, ніж за попередню. Яку відстань проїхав велосипедист:

1) за другу годину;

2) за третю годину;

3) за перші три годили;

4) за весь час руху?

239. Робітник працював 5 год. За першу годину він виготовив а деталей, а за кожну наступну - на 2 деталі менше, ніж за попередню. Скільки деталей виготовив робітник:

1) за другу годину;

2) за третю годину;

3) за перші дві годили;

4) за останні три години?

240. Доведіть тотожність:

1) (х - у) + (у - р) - (x - p) = 0;

2) (а² + b² - с²) - (b² - а²- с²) - (а² - b²) = а² + b².

241. Доведіть тотожність:

(а³ + а² - а) + (2а² - 5а + 3а³) - (4а³ - ба + 2а²) = а².

242. Доведіть, що при будь-яких натуральних значеннях n значення виразу (15 - 7n) - (7 - 11n) є кратним числу 4.
243. Доведіть, що при будь-яких натуральних значеннях m значення виразу (m² - 4m + 1) - (m² - 9m - 14) ділиться на 5.
244. Доведіть, що значення виразу

( a²b + ab) - ( аb - bа²) - ( - a²b - аb - 2)

не залежить від значення змінних.

245. Доведіть, що значення виразу

(7x⁵ - 4х⁴ + х³ - 8) - (3х⁵ - 4х⁴ + 4х³) - (4х⁵ - 3х³ + 7) не залежить від значення змінної.

246. Знайдіть значення виразу:

1) (b² + 3b - 8) - (7b² - 5b + 7) + (5b² - 8b + 10), якщо b = -2;

2) 17x² - (3х² - 2хy + 3у²) - (14х² + 3ху - 4y²), якщо х = -0,1, у = 10.

247. Знайдіть значення виразу:

1) (m² - 2m - 8) - (0,1m² - 5m + 9) + (4m - 0,9m² + 5), якщо m = ;

2) 1а2 - (3аb - 2а²) + (4ab - 9а²), якщо а = -, b = -32.

248. Подайте многочлен 3m²n - 5mn + 4n² - 9n - 7 у вигляді різниці двох многочленів так, щоб усі члени обох многочленів мали додатні коефіцієнти.
249. Нехай а = 7m² + 5mn - n², b = -6m² + 2mn + 3n², с = m² - 2n². Підставте ці многочлени замість а, b, с у вираз і спростіть його:

1) а + b + с;

2) а - b - с.

250. Доведіть, що при будь-якому значенні х різниця многочленів 0,5x⁴ + х³ - 0,2x² - 5 + 0,3x⁴ + х³ - 0,7x² - 9 набуває додатного значення. Якого найменшого значення набуває ця різниця і при якому значенні х?
251. Доведіть, що сума:

1) трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3;

2) чотирьох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає в остачі 2.

252. Запис ху означає натуральне число, у якому х десятків і у одиниць. Доведіть, що

1) сума чисел ху і ух кратна числу 11;

2) різниця чисел ху і ух, де х > у, кратна числу 9.

253. Запис хуz означає число, у якому х сотень, у десятків і z одиниць. Подайте у вигляді многочлена:

1) хуz;

2) zух;

3) хуz + zу;

4) ухz - ух.

Вправи для повторення

254. Обчисліть значення виразу:

(0,018 + 0,982) : (4 ∙ 0,5 - 0,2).

255. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) -8х ∙ 1,5у, якщо x- = , у = -;

2) -2а ∙ (-3,5b) ∙ 5с, якщо а = -1, b - , с = .

256. Подайте вираз 2⁶⁰ у вигляді степеня з основою:

1) 4; 2) 8; 3) 16; 4) 32.

Цікаві задачі для учнів неледачих

257. Знайдіть цифри а і b, якщо число 9a6b2 кратне числу 36. Укажіть усі можливі розв’язки.