Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 9. Множення одночлена на многочлен

Помножимо одночлен 5х на многочлен 3х - 7, використовуючи розподільну властивість множення:

Отже, добутком одночлена 5х і многочлена 3х - 7 с многочлен 15х² - 35х, який одержали, помноживши одночлен на кожний член многочлена і додавши знайдені результати. Маємо правило множення одночлена на многочлен:

Добуток будь-якого одночлена на будь-який многочлен завжди можна подати у вигляді многочлена.

Приклад 1. Виконати множення: -3аb(5а² - 2ab + b²).

Р о з в ’ я з а н н я.

-3аb(5а² - 2ab + b²) = -3аb ∙ 5а² - 3аb ∙ (-2аb) -3аb ∙ b² = -15а³b + 6а²b² - 3аb³.

Записати це множення можна коротше, пропустивши проміжні результати:

3ab(5a² - 2аb + b²) = -15а³b + 6а ²b² - 3аb³.

Приклад 2. Спростити вираз:

5m(m² - 2) - 2(m³ - 5b).

Р о з в ’я з а н н я.

5m(m² - 2) - 2(m³ - 5m) = 5m³ - 10m - 2m³ + 10m = 3m³.

Приклад 3. Розв’язати рівняння

2х - - 3х + = х -.

Р о з в ’ я з а н н я. Помножимо обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник дробів, тобто на 12:

12 (2х - - 3х + ) = 12 ∙ х -).

Маємо:

- =

4(2х - 1) - 3(3х + 2) = х - 14;

8х - 4 - 9х - 6 = х - 14;

8х - 9х - х = -14 + 4 + 6;

-2х = -4; х-2.

Відповідь: 2.

Сформулюйте правило множення одночлена на многочлен.

258. (Усно) Виконайте множення:

1) m(а - b);

2) р(4 + а);

3) а(b + с - 4);

4) -а(b - с + 2).

259. Виконайте множення:

1) а(b - 2);

2) m(а + с);

3) р(а - b - 3);

4) -b(а - с + 3).

260. Виконайте множення одночлена на многочлен:

1) 7а² (3 - а);

2) -5х²(х³ + 4х);

3) -3с³(с - 2с²);

4) 2а⁴(а⁵ - а³ - 1);

5) (3х² - 5х - 3) ∙ 2х;

6) (с³+ с - 4) ∙ (-3с).

261. Перетворіть добуток на многочлен:

1) 4ху(х² - 2ху - у²);

2) -a²b(ab² - b² + а²);

3) (2mn - 3mn - 5n²) ∙ (-4m²);

4) ( 2х²y + 3хy - х²) ∙ ху²;

5) (2,8а²b - 3,7а³b - 0,8b) ∙ 10аb²;

6) -1,8а²b⁶(5а²b - 1,5а - 2b³).

262. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4а (а² - 2а + 3);

2) -3b²(4b³ - 2b² + 3b - 8);

3) (3х² - 4х + 12) ∙ (-0,1х³);

4) (р² - 9р³ + 7р -1) - 3р⁴;

5) 7аb(2а²b - 3аb² - 3а³);

6) -6m²n (m²n - 3mn² - 4n³);

7) (9а²b - 8аb³ - а²b²) ∙ (-3а²b³);

8) (p²q³ - 2pq⁴ + 3р³) ∙ 5p³q².

263. Виконайте множення:

1) a²b(1,4a² — 2,1b³);

2) - x²y³(1,2y⁵ - xy);

3) (1 mn² — 1 m²) ∙ (- m²n);

4) (1 m — n) ∙ 2 m²n⁷).

264. Виконайте множення.

1) m²n (2,4mn — 2,8m²);

2) - ab²(1,5ab - b²);

3) (1 x²y — xy⁴) ∙ xy³);

4) (1,5 - b) ∙ (- a²b⁵).

265. Подайте у вигляді многочлена:

1) 5(х - 3) - 2(х - 3);

2) 5(7a - 1) - 7(5а + 3);

3) 2b(b - 3) - 5b(b + 7);

4) 7у²(3у - 2) + 4у²(у + 5).

266. Спростіть вираз:

1) 5(3 - 2a) + 7(3a - 1);

2) 3(2x - 8) - 3(2x - 5);

3) 3m(m - 2) - 5m(7 - m);

4) 2a²(3a - 5) + 4a² (a + 3).

267. Перетворіть вираз на многочлен:

1) 5m(m - n) + 3n(n - m);

2) 2а (2b - 3а) - 3а(5b -7а);

3) a(3a² - 2b) - b(5а^{2 -} 2а);

4) 0,2mn(m² - n² + 3) - 0,5m(mn² - n³).

268. Виконайте дії:

1) 3a(a - b) + 5b(а + b);

2) 3у(х - у) + у(2у - 3х);

3) р(р² - 2а) - а(а² - 2р);

4) 3ху(х² - у² + 7) - 5ху(у² + х²).

269. Розв’яжіть рівняння:

1) 6 + 2(5х + 4) = 24;

2) 3(5х - 1) = 4(4х - 8);

3) 7 - 4(у - 1) = (3у - 2) ∙ (-2);

4) 3(у - 2) - 5(у + 7) = -7(у - 1).

270. Розв’яжіть рівняння:

1) 5(2х - 1) = 3(4х + 5);

2) 9 - 5(у + 2) - (7у - 5) ∙ (-3).

271. Знайдіть корінь рівняння:

1) х(х - 3) - 9 = 12 + х²;

2) 3х - 2х² = 2х(5 - х) + 14.

272. Знайдіть корінь рівняння:

1) 7 - х(х - 2) = 5 - х²;

2) 3х(х - 5) = 3х² - 5х + 20.

273. Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб виконувалася рівність:

1) (а + b) ∙ * = am + bm;

2) * ∙ (х - у) = -nх + nу;

3) * ∙ (а - b + с) = ах² - bх² + cх²;

4) * ∙ (с - n + р) = -abc + abn - аbр;

5) * ∙ (х² - ху) = x²y² - xy³;

6) (р - 1) ∙ * =p²q³ - рq².

274. Доведіть, що при будь-якому значенні а вираз а(3а + 1) - а²(а + 2) + (а³ - а²) - (а + 1) набуває одного й того самого значення.
275. Доведіть, що значення виразу x(5x² - х + 2) - (5х - 2 + 4х³) - x(x² - х - 3) не залежить від значення змінної.
276. Доведіть, що вираз тотожно дорівнює нулю:

1) а(b - с) + b(с - а) + с(а - b);

2) а(b + с - bc) - b(c + а - ас) + с(b - а).

277. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) -7+ аb^а - 3а²b⁶ + а³b⁷);

2) (3х³ + 5х² - 2а - 3а²)хау;

3) -4рm³(m⁴ - 2р³m + 7р⁶m⁷ + 11p⁷m³);

4) (-a²b⁹ + ab⁷ - a³b⁶) (-12a³b⁷).

278. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної а вираз 2а²(а - 5) - а(- 6а + 2а² + 3а³) - 4 набуває від’ємних значень.
279. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної m вираз 5(m² - 3m + 1) - 3m(m - 5) набуває лише додатних значень.
280. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 4а - 2(5а - 1) + (8а - 2), якщо а = -3,5;

2) 10(2 - 3х) + 12х - 9(х + 1), якщо х = -;

3) а(3а - 4b) - b(3b - 4а), якщо а = -5, b = 5;

4) 3ху(5х² - у²) - 5ху(3х² - у2) якщо х = у = -2.

281. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 7а(2а - 0,1) - 0,1а(10а - 7), якщо а = ;

2) 4х(2х - 5у) - 2у(4у - 10х), якщо х = -15, у = 15.

282. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) 3а(5а² - 3аb + ab³ - b²) ∙ b;

2) -ху ∙ (х²у - 2х²у² + 3ху³ + х³) ∙ х².

283. Розв’яжіть рівняння:

1) + = 1;

2) - = -2;

3) + = 2х;

4) - =

284. Розв’яжіть рівняння:

1) - = 0;

2) - = 1

3) + = х;

4) = -

285. При якому значенні змінної:

1) значення виразу 2(3у + 1) у 4 рази більше за значення виразу 3у -2;

2) добуток виразів 3х і 2х + 1 дорівнює сумі виразів х(4х - 1) і 2(х2 - 3)?

286. Для виготовлення одного тістечка потрібно на 4 г цукру більше, ніж для виготовлення одного пиріжка або одного пончика. За день у кондитерському цеху було виготовлено 80 тістечок, 50 пончиків і 50 пиріжків. При цьому на всі тістечка пішло на 80 г цукру більше, ніж на всіпончики і пиріжки разом. Скільки грамів цукру йде на виготовлення одного тістечка?
287. За 8 олівців, 4 ручки і блокнот заплатили 26 грн 50 коп. Олівець на 1 грн 75 коп. дешевший за ручку і на 3 грн 25 коп. дешевший за блокнот. Скільки коштують окремо олівець, ручка і блокнот?
288. Човен плив 3,5 год за течією річки і 2,5 год проти течії. Відстань, яку він проплив за течією річки, на 30 км більша за відстань, яку він проплив проти течії. Знайдіть швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год.
289. Одна котушка бавовняних ниток коштує 2 грн 70 коп., а льняних - 3 грн 25 коп. Бабуся для плетіння скатертини придбала бавовняних ниток на 6 котушок більше, ніж льняних, витративши на всю покупку 87 грн 60 коп. Скільки котушок бавовняних і скільки котушок льняних ниток придбала бабуся?
290. Якими одночленами треба замінити зірочки, щоб одержати тотожність:

1) 5ах² ∙ (* + *) = 5ах³ + 35ах²;

2) (9а² + *) ∙ 3а = * + 18а³;

3) (* - 4mс²) ∙ * = 3m³с² - 12m²c⁴;

4) (* - *) ∙ х²у³ = 5x²y³ - 7x²y⁴?

291. Які одночлени треба вписати в клітинки, щоб одержати тотожність:
292. Спростіть вираз (n - натуральне число):

1) xⁿ⁺³(xⁿ⁺⁴ - х) - х^{2n + 7};

2) yⁿ(yⁿ⁺² - yⁿ - y²) - у²(у²ⁿ - yⁿ);

3) zⁿ(z² - 1) - z²(zⁿ + 2) - 2(zⁿ - z²).

Вправи для повторення

293. У яких координатних чвертях розташовуються точки А(-5; -7), В(4; -8), С(1; 17), D(-9; 8)?
294. Спростіть:

1)(-3a²b³)² ∙( ab²)³;

2)(0,1mn⁷)² ∙ (-10m²n³)³.

295. Використовуючи властивості степенів, знайдіть значения виразу:

1) ;

2)

Цікаві задачі для учнів неледачих

Відомо, що при деяких натуральних значеннях а і b значення виразу 6а + b кратне числу 7. Доведіть, що при тих самих значеннях а і bзначення виразу 6b + а також кратне числу 7.