Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 7. Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення. Стандартний вигляд многочлена. Степінь многочлена

Вираз 7х²у³ - 5ху⁷ + 9х⁵ - 8 є сумою одночленів 7х²у³, -5ху⁷, 9x⁵ і -8. Цей вираз називають многочленом.

Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена. Наприклад, многочлен 7х²y - 5ху⁷ + 9х⁵ - 8 складається із чотирьох членів: 7х²у^3; 5ху⁷; 9х⁵ і 8.

Многочлен, який містить два члени, називають двочленом, многочлен, який містить три члени, — тричленом. Наприклад, а + b⁷, 2ху - 3y⁷ - двочлени; х + ху + у³, mn + m - n — тричлени. Одночлен вважають окремим видом многочлена.

У многочлені 7х²у + 8 + 9ху - 5х²у - 9 члени 7х²у і -5х²у є подібними доданками, оскільки вони мають одну й ту саму буквену частішу х²у. Також подібними доданками є й члени 8 і -9, які не мають буквеної частини. Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена, а зведення подібних доданків у многочлені - зведенням подібних членів многочлена.

Приклад 1. Звести подібні члени у многочлені

7х²у + 8 + + 9ху - 5 х²у - 9.

Р о з в’ я з а н н я.

7х²у + 8 + 9ху - 5х²у - 9 = (7х²у - 5х²у) + (8 - 9) + 9ху = 2х²у - 1 + 9ху.

Кожний член многочлена 2х²у - 1 + 9ху є одночленом стандартного вигляду, причому цей многочлен уже не містить подібних доданків. Такі многочлени називають многочленами стандартного вигляду.

Приклад 2. Чи записано в стандартному вигляді многочлени:

1) ху² - х²у³х + 7;

2) m² + 3mn - 3n²;

3) 9ab + 7 - 5ab?

Р о з в’ я з а н н я.

1) Оскільки х²y³x не є одночленом стандартного вигляду, то многочлен х²у - х²у³х + 7 не є многочленом стандартного вигляду.

2) Многочлен m² + 3mn - 3n² є многочленом стандартного вигляду.

3) Многочлен 9ab + 7 - 5ab містить подібні доданки, тому не є многочленом стандартного вигляду.

Приклад 3. Записати у стандартному вигляді многочлен

3х²ух + 5 - 4ху²у - 5х³у + 7ху³ - 8.

Р о з в’ я з а н н я. Спочатку зведемо до стандартного вигляду члени многочлена, потім зведемо подібні доданки:

3х²ух + 5 - 4ху² - 5х³у + 7ху³ - 8 = 3х³у + 5 - 4ху³ - 5х³у + 7ху³ - 8 = - 2х³у + 3ху³ - 3.

Члени многочлена 7m4р - 9 m²р4 + 3, що має стандартний вигляд, є одночленами відповідно п’ятого, шостого та нульового степенів. Найбільший із цих степенів називають степенем многочлена. Отже, 7m4 р - 9m²р⁴ + 3 є многочленом шостого степеня.

Наприклад, многочлени 5x: - 7 та 2а - 3b + 7 - першого степеня; многочлен 2mn + n - другого; 2х⁴ + x⁵ - х² - п’ятого степеня.

Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно рівного йому многочлена стандартного вигляду.

Приклад 4. Визначити степінь многочлена

2х²у + 3ху - 6х²у + 4х²у - 7.

Р о з в’ я з а н н я.

Спочатку запишемо многочлен у стандартному вигляді:

2х²у + 3ху - 6х²у + 4х²у - 7 = 3ху - 7. Многочлен 3ху -7 є многочленом другого степеня, а тому і многочлен 2х²у + 3ху - 6х²у + 4х²у - 7 є многочленом другого степеня.

Члени многочлена можна записувати в різній послідовності. Для многочленів стандартного вигляду, які містять одну змінну, члени, як правило, упорядковують за зростанням або спаданням показників степенів цієї змінної.

Наприклад, 7а⁴ + 5а³ - 8а² - 5 або -5 - 8а² + 5а³ + 7а⁴.

Будь-який многочлен є цілим виразом. Але не кожний цілий вираз є многочленом. Наприклад, цілі вирази 3(х - 1); (а + b)²; (m - n)³ не є многочленами, бо вони не є сумою одночленів.

Що називають многочленом? Що називають членами многочлена? Який многочлен називають двочленом, а який тричленом? Які члени многочлена називають подібними? Який многочлен називають многочленом стандартного вигляду? Що називають степенем многочлена?

186. (Усно) Які з даних виразів є многочленами:

1) m²(m - 5);

2) 3р² - р^{2 +} х⁷;

3) ;

4) b;

5) (а + 3)(а - 2);

6)n² - n;

7)7,8;

8) (t - 3р)²!

187. Серед даних виразів виберіть многочлени:

1) p³ - p² - p;

2) ;

3) с³;

4) a(a - b);

5) -3 ;

6) (х + 1)(х - 1);

7) а³ - 1;

8) (с + р)³.

188. Назвіть члени многочлена:

1) 3р²ⁿ - 5рn² + 3 + 7рn;

2) -х³ + 5х² - 9х + 7.

189. Складіть многочлен з одночленів:

1) 5m², -2m і 3;

2) 7аb, -2а² і b^2;

3) 4р і 2q³;

4) -с², -3mс, m³ і 7.

190. Складіть многочлен з одночленів:

1) 5m і -5n;

2) m³, -2m² і mn;

3) -х³, -3у², ху і 4.

191. (Усно) Чи записано многочлен у стандартному вигляді? Для многочленів стандартного вигляду визначте їх степінь.

1) 5m² + m³ + 1;

2) 7х² + 2х + 3х²;

3) 2 + а + а²b + 3;

4) с²с + с⁵ - 8;

5) 3х²х + 3хх² + х;

6) р² - 19.

192. Зведіть подібні члени многочлена:

1) 7х - 15ху - 8ху;

2) 8ab - 5ab + 4b²;

3) 9а⁴ - 5а + 7а² - 5а⁴ + 5а;

4) 18а⁴b - 9а⁴b - 7bа⁴;

5) 4b³ + b² - 15 - 7b² + b³ - b + 18;

6) 9ху² - x³ - 5ху² + 3х²у - 4ху² + 2x³.

193. Зведіть подібні члени многочлена:

1) а³ - 2а³ + 3а³;

2) -х⁴ + 2х³ - 3х⁴ + 5х² - 3х²;

3) 7 + 3m⁶ - 2m³ - m⁶ + 2m⁶ - m⁵ - 7;

4) 9ху³ + 6х²у² - x³у + х²у² - 9ху³.

194. (Усно) Які з многочленів є многочленами четвертого степеня:

1) а³ + 3а² + 1;

2) а²а² - 8;

3) а⁴ - 4а³ - а⁴;

4) аа³ + 2?

195. Які з многочленів є многочленами п’ятого степеня:

1) m³ + m⁴ - m²;

2) 12 + mm⁴;

3) mm + mm² + m²m²;

4) m⁵ - 3 - m⁵?

196. Зведіть многочлен до стандартного вигляду та визначте його степінь:

1) х²у + хуу;

2) 2a ∙ а² - 3b + а ∙ 5с;

3) 7х ∙ 5y² - 4у ∙ 7х²;

4) 3а ∙ 4а ∙ (-5а) - а³ ∙ ( 8b).

197. Подайте многочлен у стандартному вигляді та визначте його степінь:

1) 3х ∙ х² + 2х ∙ 5у²;

2) 5а ∙ b²а + Зb ∙ 2аb²;

3) -5mn³m + 4mmm;

4) 5р ∙ 3р ∙ (-р) — p ∙ qp.

198. Перепишіть многочлен в порядку спадання степенів змінної:

1) 7х - 5х³ + х⁴ - 9х² + 1;

2) 8у³ - 5 + 7у⁶ - 9у⁴ + у².

199. Перепишіть многочлен в порядку зростання степенів змінної.

1) 3m² - 3m + m³ - 8;

2) 7а² - 9а⁵ + 4а³ + 5 - а⁴.

200. Знайдіть значення:

1) двочлена 3x² - 1, якщо х = -1; 2;

2) тричлена 5m + 9n² - 1, якщо m = -2, n = .

201. Обчисліть значення многочлена:

1) 64x³ - х² + 1, якщо x = ;

2) 4mn - 3m + 2n - 4mn, якщо m = 4, n = -3.

202. Обчисліть значення многочлена:

1) 9р² - р³, якщо р = ;

2) 2ху - 4х + 3у + 4x, якщо x = -1, у - 2.

203. Чи існує таке значення х, при якому значення многочлена х² + 5 дорівнює нулю; є від’ємним?

204. Зведіть многочлен до стандартного вигляду і вкажіть його степінь:

1) 3а²аb - 5а²b²b² - 6аb ∙ 2а + 5аb ∙ 0,4аb - 1,5а ∙ 2b ∙ а²;

2) 3ху² ∙ 4х³у + 5х³у ∙ 2у ∙ (-х) - 10х³у³∙ х - 7ху ∙ (-3ху³).

205. Зведіть многочлен до стандартного вигляду і вкажіть його степінь:

1) 3а²b³ - ab³ - а³а - а²b² ∙ b + 0,5аb ∙ 2b² + 4ab ∙ 0,5аb²;

2) 7х ∙ 2у³ - 5х ∙ 3ху ∙ (-x) + y ∙ (14xy) - 3ух ∙4y².

206. Зведіть многочлен 5хy + х²у² - 2х³у - 3ху³ - х²у² до стандартного вигляду і знайдіть його значення, якщо х = , у = -1.

207. Доведіть, що многочлен а² + b² + 1 при будь-яких значеннях змінних а і b набуває лише додатних значень.

208. Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб утворився многочлен четвертого степеня:

1) х³ + 3х² + * - 2;

2) m6 - 4m⁴ + mn + *;

3) а³b - 3а⁴b³ + 3а² + *;

4) pq³ - p²q² + p²q³ + * - p³q.

209. Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб після зведення до стандартного вигляду одержати многочлен, що не містить змінної х:

1) 3х - 12 + 5х + 15 - 9х + *;

2) 5ху²- у³ + 7у² + 7у²х - 5 + *.

210. Дано многочлен 5х³ + 2х² - х + 7. Утворіть з нього повий многочлен, замінивши змінну х на одночлен:

1) m;

2) -х;

3) 2а;

4) 3b².

Отримані многочлени зведіть до стандартного вигляду.

211. Дано многочлен 3а^{3 -} 5а² + а - 8. Утворіть з нього новий многочлен, замінивши змінну а на даний одночлен, та зведіть до стандартного вигляду:

1) х;

2) -а;

3) 2b;

4) 3с².

212. Оберіть ті многочлени, значення яких є додатними при будь-яких значеннях змінних, щодо нього входять; є від’ємними при будь-яких значеннях змінних, що до нього входять:

1) а⁴ + 3а² + 5;

2) с⁵ + с³ + с;

3) -р² - 7;

4) -m² - m²n² - n² - 9;

5) -а - b - 7;

6) х⁸ + у⁸ + с⁴ = 1.

Вправи для повторення

213. Розкрийте дужки і спростіть вираз:

1) х + 5 + (2х - 7);

2) 2у - 7 - (3у - 8);

3) 7 - (2х + 9) + (3х - 11).

214. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1) сума квадратів чисел 3,1 і -2,7;

2) квадрат різниці чисел -3,8 і -3,7;

3) куб суми чисел 1,52 і -1,5.

215. Замініть пропуски степенем з основою х так, щоб одержати тотожність:

1) х³ ∙ ( … )² = х¹³;

2) ( … )³ ∙ х⁷ = х¹⁹.

Цікаві задачі для учнів неледачих

216. Чи існують такі натуральні значення змінних х і у, при яких х⁵ + у³ = 33⁶?