Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 16. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

У тотожності (а - b)(а + b) = а² - b² поміняємо місцями ліву і праву частини. Матимемо:

Цю тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Читають її так.

Формулу різниці квадратів двох виразів застосовують для розкладання на множники двочлена а² - b². Цю формулу можна використовувати і для розкладання на множники різниці квадратів будь-яких двох виразів.

Приклад 1. Розкласти на множники:

1) 16 - х²;

2) 49m⁴ - 64р⁶.

Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки 16 = 4², то за формулою різниці квадратів: 16 - x² = 4² - х² = (4 - х)(4 + x).

2) Оскільки 49m⁴ = (7m²)², а 64р⁶ = (8р³)², маємо:

49m⁴ - 64р⁸ - (7m²)² - (8р³)² = (7m² - 8р³⁾⁽7m² + 8р³).

Приклад 2. Обчислити зручним способом: 105² - 95².

Р о з в ’ я з а н н я.

105² - 95² = (105 - 95)(105 + 95) = 10 ∙ 200 = 2000.

В і д п о в і д ь: 2000.

Приклад 3. Розв’язати рівняння х² - 25 = 0.

Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки х² - 25 = (х - 5)(х + 5), маємо:

х² - 25 = 0; (х - 5)(х + 5) = 0;

х - 5 - 0 або х + 5 = 0;

отже, х = 5 або х = -5.

В і д п о в і д ь: -5; 5.

Запишіть і прочитайте формулу різниці квадратів двох виразів.

521. (Усно) Які з рівностей є тотожностями:

1) а² - b² = (а - b)(а - b);

2) m² - n² = (m + n)(m - n);

3) р² + m² = (p + q) (р + q);

4) 3² - x² = (3 - х)(3 + х)?

522. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) x² - 1 = (x - 1)( … );

2) 4 - р² = ( … )(2 + р).

523. Доберіть замість пропусків такий вираз, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) m² - 1 = ( … )(m + 1);

2) 9 - b² = (3 - b)( … ).

524. (Усно) Розкладіть на множники:

1) а²- 4;

2) 9 - b²;

3) 4х² - 25m²;

4) х²у² - 1.

525. Подайте многочлен у вигляді добутку різниці і суми:

1) а² - 25;

2) 16 - р²;

3) d² -1,44;

4) 0,09 - m²;

5) b² - ;

6) - с².

526. Розкладіть на множники:

1) 36а² - b²;

2) -а² + b²;

3) 49x² - 64;

4) 9m² - 16n²;

5) -100m² + 121k²;

6) 0,25 - а²b²;

7) 16m²а² - 0,01;

8) р² - с²d^2;

9) 81р²m² - n².

527. Подайте многочлен у вигляді добутку різниці й суми:

1) а² - 64;

2) 0,25 - b²;

3) -81 + 36х²;

4) 169р² - ^q2;

5) 400а² - 25m²;

6) 49а^2b2 - 16;

7) 900 - а²b²;

8) c²d² - 4m²;

9) 100а²b² - 0,16m².

528. Обчисліть, застосовуючи формулу різниці квадратів:

1) 67² - 57²;

2) 43² - 53²;

3) 112² - 88²;

4) 21,5² - 21,4²;

5) 0,725² - 0,275²;

⁶) (5 )² - (4 )².

529. Обчисліть зручним способом:

1) 43² - 33²;

2) 27² - 37²;

3) 0,97² - 0,03².

530. Знайдіть значення виразу х² у², якщо

1) х = 55; у = 45;

2) х = 2,01; у = 1,99.

531. Розв’яжіть рівняння:

1) х² - 16 = 0;

2) - х² = 0;

3) у² - 0,25 = 0;

4) 4х² - 9 = 0.

532. Знайдіть корені рівняння:

1) х² - 36 = 0;

2) у² - 1 = 0;

3) 0,49 - x² = 0;

4) 64y² - 49 = 0.

533. Розкладіть на множники:

1) с⁴ - m⁶;

2) р⁸ - а¹⁰;

3) а⁶ - 9m⁴;

4) 100а⁶ - 25х⁸;

5) 0,49 - m⁴p¹²;

6) 36x²c¹⁴ - 0,16d⁴;

7) а⁸ - b⁶с²;

8) -0,01m² + 0,81х⁶y⁸;

9)1 t²⁰a²⁴ - 1 p¹⁶q¹⁸.

534. Розкладіть на множники:

1) а⁸ - 16m⁸;

2) 36с⁸ - 49а¹⁰;

3) 0,25 - m²а²;

4) -121p⁸c⁴ + 4а²;

5) - а²b⁴ + c⁶;

6) 2 а²b⁸ - 1 р⁶с¹⁸.

535. Знайдіть значення виразу:

1) ;

2) ;

3).

536. Подайте вираз у вигляді добутку:

1) (х + 2)² - 1;

2) 4 - (у + 3)²;

3) (4m - 5)² - 16;

4) 6,25 - (а - 3,5)²;

5) (2х - 5)² - 49;

6) 1 - (2х + 1)².

537. Розкладіть на множники:

1) (р + 2)² - 9;

2) 16 - (m - 3)²;

3) (3x - 2)² - 36;

4) х² - (2х - 1)²;

5) (5а - 3b)² - 9b²;

6) (3х + 4y)²- 100у².

538. Знайдіть корені рівняння:

1) (х - 1)² - 25 = 0;

2) 49 - (2х + 5)² = 0;

3) (5х + 3)² = 64;

4) (0,1x - 0,5)² = 0,36.

539. Розв’яжіть рівняння:

1) (х + 2)² - 36 = 0;

2) (5x - 4)²- 81 = 0;

3) (2х + 7)² = 49;

4) (0,2x - 0,5)² = 0,09.

540. Розкладіть на множники:

1) 16х² - (1 + 3x)²;

2) (3у - 5)² - 16у²;

3) 49m² - (а + 3m)²;

4) (5а - 2b)²- 25а².

541. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу (n + 7)² - n² ділиться на 7.

542. Подайте вираз у вигляді добутку:

1) а⁶ - (b - 5а³)²;

2) ( 3m² + 4р)² - 9m⁴;

3) (7х + 2y)²- (2х - 7y)²;

4)(а⁴b + с) - (а + b - с)²;

5) а²(а + 1)² - с⁸;

6) (5а - b - 1)² - (5а + b - 1)².

543. Розкладіть на множники:

1) (5а² - 3b)² - 16а⁴;

2) mn⁸ - (3с - 2m⁴)²;

3) (2а + 3b)²- (4а - 5b);

4) (х - у + t)²- (х - у - t)².

544. Розв’яжіть рівняння:

1) (3х - 4)² - (5х - 8)²= 0;

2) х⁴ - 81 = 0;

3) 16х⁴ - 1=0;

4) 81х² + 4 = 0.

545. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел дорівнює сумі цих чисел.

Вправи для повторення

546. Спростіть вираз:

1) (t + 1)(t -7) - (t - 1)(t + 7);

2) (а³ - 2b)(a² + 2b) - (a² - 2b)(a³ + 2b).

547. Обчисліть, використовуючи формулу куба двочлена:

1) (100 - 1)³;

2) 41³;

3) 29³;

4) 0,99³.

Цікаві задачі для учнів неледачих

548. Господиня мас важільні терези і гирьку масою 100 г. Як за допомогою чотирьох зважувань відміряти 1,5 кг крупи?