Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 17. Сума і різниця кубів

Помножимо а + b на а² - ab + b²:

(a + b)(a²- ab + b²) = а³ - а²b + аb² + bа² - ab²+ b³ - a³ + b³. Маємо тотожність, яку називають формулою суми кубів:

У правій частині формули множник а² - аb + b² нагадує повний квадрат а² - 2ab + b², але замість подвоєного добутку 2ab містить ab. Тричлен а² - аb + b² називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Тому формулу суми кубів читають так:

Приклад 1. Розкласти многочлен х³ + 64 на множники.

Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки 64 = 4³, то даний многочлен можна подати у вигляді суми кубів двох виразів:

_x³ + 64 = x³ + 4³.

За формулою суми кубів маємо:

x³ і 4³ = (х + 4)(x² - 4х + 4²) = (х + 4)(x² - 4x + 16).

Отже, x3 + 4³ = (х + 4)(х² - 4х + 16).

Тепер помножимо а - b на а² + аb + b²:

(а - b)(a² + ab + b²) = а³ + а²b + ab² - ba² - ab² - b³ = а³ - b³.

Маємо тотожність, яку називають формулою різниці кубів:

Тричлен а² + ab + b² називають неповним квадратом суми виразів а і b, а формулу різниці кубів читають так:

Приклад 2. Розкласти многочлен 27а³ - m⁶ на множники.

Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки 27а³ = (3а)³ і m⁶ = (m²)³, то данин многочлен можна перетворити на різницю кубів:

27а³ - m⁶ = (3а)³ - (m²)³.

Далі застосуємо формулу різниці кубів:

(3а)³ - (m²)³ = (3а - m²)(³а)² + 3аm² + (m²)²) = (3а - m²)(9а² + 3аm² + m⁴).

Помінявши місцями ліві і праві частини формул суми і різниці кубів, матимемо:

Ці тотожності с формулами скороченого множення і дають змогу скорочено виконувати множення суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці та різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми.

Приклад 3. Перетворити вираз (x + 2у)(х2 - 2ху + 4у²) на многочлен.

Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки вираз х² - 2ху + 4 у² є неповним квадратом різниці виразів х і 2у, можемо застосувати формулу суми кубів:

(х + 2у)(х² - 2ху + 4у²) = x³ + (2у)³ = х³ + 8у³.

Приклад 4. Розв’язати рівняння

(5х - 1)(25х² + 5х + 1) = 125x³ - 8х.

Р о з в’ я з а н н я. Застосуємо до лівої частини рівняння формулу різниці кубів, одержимо:

(5x)³ - 13 = 125x³ - 8х;

125x³ - 1 = 125x³ - 8x;

125x³ - 125x³ + 8х = 1;

8х = 1;

х = 0,125.

В і д п о в і д ь: 0,125.

Запишіть і прочитайте формулу суми кубів. Запишіть і прочитайте формулу різниці кубів. Якому виразу тотожно дорівнює добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці? Якому виразу тотожно дорівнює добуток різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми?

549. (Усно) Який з виразів є неповним квадратом різниці виразів х і у, а який - поповним квадратом їх суми:

1) х² + ху + у²;

2) х² - 2ху + у²;

3) х² - ху - у²;

4) х² + 2ху + у²;

5) х² - ху + у²;

6) х² + 4ху + у².

550. (Усно) Які з рівностей є тотожностями:

1) mn³ + n³ = (m² + n²)(m + n);

2) m³ - n³ = (m - n)(m² + mn ( n²);

3) х³ + у³ = (х + у)(x² - ху + у²);

4) с³ - d³ = (с - d)(c² + 2cd + d²)?

551. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями:

1) а³ - b³ = (а² - b²)(а - b);

2) c3 + d³ = (с + d)(c² - cd + d²);

3) p³ - q³ = (p - q)(p² + pq + q²);

4) x³ + m³ = (x + m)(x² - 2xm + m²).

552. Розкладіть на множники:

1) m³ - p³;

2) a³ + d³;

3) 8 - a³;

4) q³ + 27;

5) n³ - 64;

6) 0,001 + t³.

553. Подайте вираз у вигляді суми або різниці кубів і розкладіть його на множники:

1) 8a³ + 1;

2) 27 - c³;

3) у³ + 64x³;

4) 0,125b³ - 64у³;

5) 1 + 1000m³;

6) а³ - b³.

554. Розкладіть на множники:

1) + b³;

2) x³ - 8;

3) 1 + 125р³;

4) 0,064m³ - n³;

5) а³ + b³;

6) 216p³ - q³.

555. Подайте у вигляді многочлена:

1) (х - у)(х² + ху + у²);

2) (а + 3)(а² - 3а + 9);

3) (1 - d + d²)(1 + d);

4) (m - 2)(m² + 2m + 4).

556. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (m + n)(m² — mn + n²);

2) (m - 1)(m² + m + 1);

3) (b + 4)(b² - 4b + 16);

4) (25 + 5q + q²)(5 - q).

557. Знайдіть значення виразу:

1) (4р - 1)(16р² + 4р + 1), якщо р = - 0,25;

2) (2а + b)(4a² - 2ab + b²), якщо а = - ; b = 2.

558. Знайдіть значення виразу:

1) (3x + 1)(9x² - 3х + 1), якщо х = ;

2) (х - 2у)(х² + 2ху + 4у²), якщо х = -2; у = 0,5.

559. Розкладіть многочлен на множники:

1) а³ - b⁶;

2) t¹² + с⁹;

3) р¹⁸ + m²⁴;

4) -с⁸ + m¹⁵;

5) - - а²⁴;

6) -с⁹⁹ - d⁶⁰;

7) x³y³ + 1;

8) 27 - а³b⁹;

9) x⁶у¹² + m²⁷;

10) 64m⁶р²¹ - 125х³;

11) с²⁴m¹⁸ + 27t⁹;

12) 343а¹⁸b³³ - 0,001с³⁶.

560. Запишіть вираз у вигляді добутку:

1) х⁹ - у⁶;

2) -р¹² - 27;

3) -a⁹b⁶ + 1;

4) 216р¹⁵ + 0,008t¹⁸;

5) 64m²¹c³ - р³⁰;

6) 512t²⁷ - 729а³³.

561. Виконайте множення:

1) (b³ - d²)(b⁶ + b³d² + d⁴);

2) (с³+ 2р)(с⁶ - 2рс³ + 4p²);

3) (9х² + 3ху + y²)(3х - у);

4) (4с + 3d)(16c² - 12cd + 9d²);

5) (а⁸ - 4а⁴ + 16)(а⁴ + 4);

6) (5m² - 6р³)(25m⁴ + 30m²р³ + 36р⁶).

562. Подайте у вигляді многочлена:

1) (а⁵ - m²)(а¹⁰ + а⁵m² + m⁴);

2) (25а² - 5аb + b²)(5а + b);

3) (2х - 7у²)(4х³ - 14xy² + 49y⁴);

4) (3р² + 4с³)(9р⁴ - 12p²c³ + 16с⁶).

563. Виконайте дії:

1) (а + 2)(а² - 2а + 4) - а(а² - 5);

2) (b - 3)(b² + 3b + 9) - b(b - 3)(b + 3);

3) (х + 4)(x² - 4х + 16) - (х - 1)(х² + х + 1);

4) (2b² - 1)(4b⁴ + 2b² + 1) - (2b³ + 1)².

564. Спростіть вираз:

1) (а - 4)(а² + 4а + 16) - а(а - 2)(а + 2);

2) (х² + 3)(х⁴ - 3х² + 9) - (х² - 2)(х⁴ + 2x² + 4);

3) b(b - 1)² - (b - 5)(b² + 5b + 25);

4) (а - 1)(а² + а + 1)(а + 1)(а² - а + 1).

565. Знайдіть значення виразу:

1) (2а + 1)(4а² - 2а + 1) - 7а³, якщо а = -2;

2) (х² + 5хy + 25y²)(x - 5у) + 25у³ - х³, якщо х = - 2015,

y = 0,1.

566. Розв’яжіть рівняння:

1) (х - 4)(х² + 4х + 16) = x³ - 8х;

2) (х³ + 1)(х⁶ - х³ + 1) = х⁹ - 5х;

3) (9х²- 6x + 4)(3х + 2) = 3х(3х + 4)(3х - 4) + 32;

4) 8(x - 2)(х² + х + 4 ) - х(х - З)² = 6х² - 46.

567. Розв’яжіть рівняння:

1) (х - 2)(х² + 2х + 4) = 24х + х³;

2) (2х + 1)(4х² - 2х + 1) = 2х(2х - 3)(2х + 3) + 37.

568. Розкладіть на множники:

1) (а + 3)³ - а³;

2) (х - 4)³ + 8;

3) 27р³ - (р + 1)³;

4) 64х³ + (х - 1)³.

569. Розкладіть на множники:

1) (а + 1)³ + a³;

2) (b - 2)³- 8;

3) 125b³ - (b - 1)³;

4) 64а³ + (а + 2)³.

570. Доведіть, що дві останні цифри значення виразу 415³ + 85³ є нулями.

571. Чи ділиться число 115³ - 15³ на 100?

572. Обчисліть зручним способом: + 57 ∙ 43.

Вправи для повторення

573. Доведіть, що різниця натурального трицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотньому порядку, ділиться на 11.

574. В одній упаковці було 90 зошитів, а в другій - 30. Коли з першої взяли удвічі більше зошитів, ніж з другої, то в першій упаковці залишилося в 5 разів більше зошитів, ніж у другій. По скільки зошитів залишилося в кожній упаковці?

Цікаві задачі для учнів неледачих

575. З українського фольклору. Жінка прийшла на базар курей продавати. Перший покупець придбав у неї половину всіх курей та ще півкурки. Другий - половину з того, що залишалося, та ще півкурки. Третій покупець придбав половину того, що залишилося, та ще півкурки. Після цього виявилося, що усіх курей продало, і задоволена жінка повернулася додому. Скільки курей вона винесла па продаж?