Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 15. Множення різниці двох виразів на їх суму

Помножимо різницю а - b на суму а + b:

(а - b)(а + b) = а² + ab - bа - b² = а² - b².

Отже,

Одержали ще одну формулу скороченого множення. Її читають так.

Розглянемо приклади застосування цієї формули.

Приклад 1. Виконати множення:

1) (2m - 3р)(2m + 3р);

2) (4а² + b³)(b³ - 4а²).

Р о з в’ я з а н н я.

1) (2m - 3p)(2m + 3р) = (2m)² - (3р)² = 4m² - 9р², або скорочено: (2m - 3р)(2m + 3р) = 4m² - 9р².

2) (4а² + b³)(b³ - 4а²) = (b³ + 4а²)(b³ - 4а²) = (b³)² - (4а²)² = b⁶ - 16а⁴.

Приклад 2. Подати добуток (-5m - 7а)(5m - 7а) у вигляді многочлена.

Р о з в’ я з а н н я.

1-й спосіб.

Винесемо у виразі - 5m - 7а за дужки -1. Матимемо:

(-5m - 7а)(5m - 7а) = -1 ∙ (5m + 7а)(5m - 7а) = -((5m)² - (7а)²) = (25m² - 49а²) = -25m² + 49а² = 49а² - 25m².

2-й спосіб.

У кожному із множників спочатку поміняємо місцями доданки:

(-5m - 7а)(5m - 7а) = (-7а - 5m)(-7а + 5m) = (-7а)² - (5m)² = 49а² - 25m².

Приклад 3. Обчислити зручним способом 4,3 ∙ 3,7.

Р о з в ’я з а н н я.

4,3 ∙ 3,7 = (4 + 0,3)(4 - 0,3) = 4² - 0,3² = 16 - 0,09 = 15,91.

Якому виразу дорівнює добуток різниці двох виразів на їх суму? Запишіть і прочитайте відповідну формулу.

490. (Усно) Які з рівностей є тотожностями:

1) (а - m)(а + m) = а² - m²;

2) (с + р)(с - р) = с² + р²;

3) (b - х)(b + x) = (b - x)²;

4) (d + n)(d - n) = n²- d²?

491. Закінчіть запис:

1) (а - 5)(а + 5) = а² - 5² = … ;

2) (m + 7)(m - 7) = m² - 7² = … .

492. Знайдіть добуток:

1) (х - у)(х + у);

2) (р + q)(р - q).

493. Виконайте множення двочленів:

1) (m + n)(m - n);

2) (с - d)(c + d).

494. Виконайте множення:

1) (р - 9)(р + 9);

2) (5 + х)(5 - х);

3) (3 - с)(3 + с);

4) (7 + у)(у - 7).

495. Перетворіть на многочлен:

1) (m - 2)(m + 2);

2) (7 + а)(7 - а);

3) (4 - х)(4 + х);

4) (11 + b)(b - 11).

496. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (2х - 3)(2х + 3);

2) (3р + 8)(3р - 8);

3) (4 + 5а)(5а - 4);

4) (3mn - 4р)(4р + 3m);

5) (7а 4- 10b)(10b - 7а);

6) (p - q) (q + р).

497. Виконайте множення:

1) (р - 2m)(р + 2m);

2) (2р + 7)(2р - 7);

3) (2с + 5)(5 - 2с);

4) (8а - 0,3х)(0,3x + 8а);

5) (0,1р + q) (q - 0,1р);

6) (а - b)(a + b).

498. Заповніть у зошиті таблицю за зразком:

499. Виконайте дії:

1) 16 + (3а + 4)(3а - 4);

2) (5m - 3)(5m + 3) - 25m².

500. Спростіть вираз:

1) (8x - 5)(8x + 5) + 25;

2) 9m2 + (5 - 3m)(5 + 3m);

3) (2b - 3)(3 + 2b) - 4b²;

4) (4а + 7)(7 - 4а) - 49.

501. Розв’яжіть рівняння:

1) 3х = (2х - 3)(2х + 3) - 4х²;

2) 9х² + (8 - 3х)(8 + 3х) = 4х.

502. Знайдіть корені рівняння:

1) 8х = (5х - 4)(5х + 4) - 25х²;

2) (9 - 4x)(x⁹ + 4х) + 16х² = 3х.

503. Обчисліть зручним способом:

1) (40 - 1)(40 + 1);

2) 81 ∙ 79;

3) 1002 ∙ 998;

4) 1,03 ∙ 0,97.

504. Знайдіть значення виразу зручним способом:

1) (80 + 2)(80 - 2);

2) 39 ∙ 41;

3) 108 ∙ 92;

4) 12,3 ∙ 11,7.

505. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (р² + 3q)(3q - р²);

2) (2а - m³)(m³ + 2а);

3) (5а - b²)(b² + 5а);

4) (0,7m + n²)(0,7m - n²);

5) (4t² - р⁴)(4t² + р⁴);

6) (3а³ - 4b⁴)(4b⁴ + 3а³).

506. Виконайте множення:

1) (1,7а - 1,4р³)(1,4p^{3 +} 1,7а);

2) (3a⁷ — b³)( b³ + 3a²);

3) (5m²n + p³)( p³ — 5m²n);

4) ( a⁷ + 1,2y⁸)(1,2y⁸ — a⁷);

507. Виконайте множення:

1) (5а + b)(b² - 5а);

2) (4а^{3 -} d²)(d^{2 +} 4а³);

3) (0,7р - m⁷)(m⁷ + 0,7р);

4) ( m² + 3b⁷)(3b⁷ — p⁷);

5) (0,2а²b - 0,3аb²)(0,2а²b + 0,3аb²);

6) (1,2 p⁷ — a⁸)( a⁸ + 1,23p⁷).

508. Подайте у вигляді многочлена:

1) (-а² + 7)(7 + а²);

2) (-р² - q⁷)(p² - q⁷);

3) ( 8m - 5р)( 8m + 5р);

4) ( 2а3 - 3b)( 3b + 2а³).

509. Перетворіть на многочлен:

1) (-а⁷ + b⁵)(а⁷ + b⁵);

2) (-0,1m³ - p⁴)(0,1m³ - р⁴);

3) (3х - 2р)(3х + 2р)(9х² + 4р²);

4) (-а² - 5b³)(а² - 5b³)(a⁴ + 25b⁸).

510. Спростіть вираз:

1) (а - b)(а + b)(а² + b²);

2) (2а + х)(4а² + х²)(2а - х);

3) (с³ + d²)(c³ - d²)(d⁴ + с⁸);

4) (-x - у)(х - у)(х² + y²)(х⁴ + у⁴).

511. Замість зірочки запишіть такі одночлени, щоб утворилася тотожність:

1) (2а 4 *)(2а - *) = 4а² - 49b²;

2) (* - 9р)(* + 9р) = 0,25m⁴ - 81р²;

3) 100а⁸ - 9b⁸ = (* + 10а)(10а⁴ - *);

4) (4х - 3у)(* + *) = 16х² - 9y².

512. Знайдіть корені рівняння:

1) 8х(1 + 2х) - (4х + 1)(4х - 1) = 17;

2) х - 12х(1 - 3х) = 14 - (5 - 6х)(6х + 5);

3) (4х + 1)(4х - 1) + (2х - 3)² = 5х(4х - 11).

513. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х(4х - 1) - (6х - 1)(6х + 1) = (4х + 3)(3 - 4х);

2) (3х - 4)(3х + 4) - (5х - 2)(5х + 2) - 2х(1 - 8х);

3) (5х - 4)² - 2х(8х - 5) = (3х - 2)(3х + 2).

514. Спростіть:

1) (а + 3)² - (а + 3)(а - 3);

2) (8х - 3у)(8х + 3у) (3х - 8у)²;

3) ( b - 3)²(b + 3)²;

4) (а + 5)²(5 - а)².

515. Спростіть вираз:

1) (с - 2)² - (с - 3)(с + 3);

2) (9х - 2у)(9х + 2у) - (5х - 2у)²;

3) (а + 6)²(а - 6)²;

4) (2 - m)²(m + 2)².

516. Доведіть, що квадрат будь-якого цілого числа завжди перевищує добуток попереднього і наступного чисел на одиницю.

517. Викопайте множення, використавши формули скороченого множення:

1) ((х + у) + 1)(((х + у) - 1);

2) (а + b + с)(а - (b + с));

3) (m + n + 2р)(m + n - 2р);

4) (х - у - 2)(х + у + 2).

Вправи для повторення

518. Обчисліть: 2,7 ∙ (8 - 2 ) - 4 : 0,65.

519. Щоб заасфальтувати деяку ділянку дороги за певний час, бригада шляховиків мала асфальтувати по 15 м² щогодини. Натомість щогодини вони асфальтували на 3 м² більше, тому за 2 год до закінчення терміну їм залишилося заасфальтувати 12 м². Якою була площа ділянки та скільки годин її мали асфальтувати?

Цікаві задані для учнів неледачих

520. Нехай а₁; а₂; а₃ - натуральні числа, b₁; b₂; b₃ — ці самі числа, записані в іншому порядку. Доведіть, що добуток |а₁ - b₁,| ∙ |а₂ - b₂| ∙ |а₃ -b₃| є парним числом.