Формули квадрата суми і квадрата різниці можна використовувати також для розкладання на множники виразів вигляду а² + 2аb + b² і а² - 2ab +b². Для цього перепишемо ці формули, помінявши місцями їх ліву і праву частини.

Такий вигляд формул зручно використовувати для перетворення тричлена у квадрат двочлена.

Тричлен вигляду а² + 2ab + b² або а² - 2ab + b² називають повним квадратом. Саме його можна подати у вигляді квадрата двочлена.

Наприклад, х² + 4х + 4 = (х + 2)² і а² - 6а + 9 = (а - 3)², тому тричлени х² + 4х + 4 і а²- 6а + 9 є повними квадратами. Перетворення тричлена, що є повним квадратом, у квадрат двочлена називають згортанням у повний квадрат.

Оскільки (а + b)²= (а + b)(а + b) і (а - b)² = (а - b)(а - b), то згортання у повний квадрат є розкладанням тричлена па множники.

Приклад 1. Розкласти тричлен 4x² + 12х + 9 на множники.

Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки 4х² = (2х)²; 12х = 2 ∙ 2х ∙ 3 і 9 = З², то тричлен 4х² + 12х + 9 є квадратом суми 2х + 3, отже, його можна розкласти на множники:

4х² + 12х + 9 = (2х)² + 2 ∙ 2х ∙ 3 + 3² = (2х + 3)².

Приклад 2. Знайти значення виразу х² + 25у⁴ - 10ху², якщо х = 44, у = -3.

Р о з в’ я з а н н я. Спочатку згорнемо тричлен у повний квадрат:

х² + 25у⁴ - 10ху² = х² - 10ху² + 25у⁴ = х² - 2 ∙ х ∙ 5у² + (5у²)² = (х - 5у²)².

Тепер виконати обчислення буде зовсім нескладно. Якщо х = 44, у = -3, то (х - 5у²)² = (44 - 5 ∙ (-3)²)²∙ (44 - 45)² = (-1) = 1.

Приклад 3. Перетворити тричлен -16а² + 8ab - b² на вираз, протилежний квадрату двочлена.

Р о з в ’ я з а н н я. Винесемо за дужки -1, а одержаний в дужках вираз згорнемо в повний квадрат:

-16а² + 8ab - b² = -(16а² - 8ab + b²) = -((4а)² - 2 ∙ 4а ∙ b + b²) = -(4а - b)².

Наведіть приклад тричлена, що є квадратом суми; квадратом різниці.

462. (Усно) Розкладіть на множники:

1) m² + 2mn + n²;

2) р² ∙ 2pq + q²;

3) а² + 2 ∙ а ∙ 3 + З².

463. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:

1) с² - 2cd + d²;

2) x² + 2xy + y²;

3) m² - 2 ∙ m ∙ 5 + 5².

464. Розкладіть тричлен на множники:

1) t2 + 2tp + р²;

2) а² - 2ах + х²;

3) b² + 2 ∙ b ∙ 7 + 7².

465. Розкладіть на множники:

1) а² - 6а + 9;

2) 64 + 16b + b²;

3) 0,01m² + 0,2m + 1;

4) - p + p²;

5) 4m² - 12m + 9;

6) 9c² + 24cd + 16d².

466. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена:

1) а² + 4а + 4;

2) 9m² — 6m + 1;

3) b² - 1,2b + 0,36;

4) m² - m + 1;

5) 81а² + 18аb + b²;

6) 25m² - 60mn + 36n².

467. Знайдіть значення виразу, попередньо згорнувши його у повний квадрат:

1) а² - 2а + 1, якщо а = 91; -19;

2) 4m² + 28m + 49, якщо m = -3,5; 0;

3) 16х² - 40ху + 25у², якщо х = 5, у = 4.

468. Знайдіть значення виразу:

1) а² + 10а + 25, якщо а = -15; 95;

2) 0,01x² + 0,8x + 16, якщо х = 10; 40;

3) 4m² + 28mn + 49n², якщо m = 3, n = - .

469. Обчисліть зручним способом:

1) 36² + 2 ∙ 36 ∙ 14 + 14²;

2) 117² - 2 ∙ 117 ∙ 17 + 17².

470. Обчисліть зручним способом:

1) 872 + 2 87 ∙ 13 + 13²;

2) 137² - 2 ∙ 137 ∙ 47 + 47².

471. Перетворіть тричлен у квадрат двочлена:

1) m² + 4n² + 2mn;

2) - 10mn + 0,25m²+ 100n²;

3) 9р² + pq + q²;

4) m⁶ + 4n² - 4m³n;

5) 25m¹² + p⁶ - 10m⁶p³;

6) c⁶ - 3dc⁵ + 16d²c⁴.

472. Розкладіть на множники:

1) a⁴ + 9b² + 2a^2b;

2) -6,4а²у⁴ + 0,16a⁴ + 64y⁸;

3) 16m²⁰ + n¹² - 8m¹⁰n⁶;

4) 6а⁴b² + a⁶ + 9a²b⁴.

473. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена або вираза, протилежного до квадрата двочлена:

1) -1 + 4х - 4х²;

2) -40а + 25а² + 16;

3) 24ху - 9х² - 16у²;

4) -140x³y + 100х⁶ + 49y²;

5) 4pq - 25р² - 0,16q²;

6) -0,64m⁶ - 1,6m³n² - n⁴.

474. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена або виразу, що є протилежним до квадрата двочлена:

1) -9 - 30х - 25х²;

2) -36b + 81b² + 4;

3) 42ху - 49x² - 9у²;

4) -0,36а⁴ - 25b⁶ + 6а²b³.

475. Розв’яжіть рівняння:

1) х² - 10х + 25 = 0;

2) 64у² + 16у + 1 = 0;

3) 9x2 + 1 = -6х;

4) 16y² - 56y = 49.

476. Розв’яжіть рівняння:

1) х² + 16х + 64 = 0;

2) 36х² - 12х +1 = 0;

3) 4х² + 9 = -12х;

4) х² = 0,4х - 0,04.

477. Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було перетворити на квадрат двочлена:

1) * - 2mn + n²;

2) 25а² + 20а + *;

3) 64m² + * + 49b²;

4) * - 12bm³ + 9b²;

5) р² - 0,8р⁷ + *;

6) * + а²b³ + а⁴.

478. Запишіть замість зірочки такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена:

1) * - 28х + 49;

2) 64а^{2 -} 16а + *;

3) 25а² + * + b⁶;

4) 0,01а⁸ + 100b⁶ + *.

479. Розкладіть вираз на множники:

1) (х - 2)² + 2(х - 2) + 1;

2) (а² + 6а + 9) + 2(а + 3) + 1.

480. Доведіть, що нерівність є правильною при будь-якому значенні х:

1) х² + 2 > 0;

2) х² - 6х + 9 ≥ 0.

481. Порівняйте з нулем значення виразу:

1) х² - 4х + 4;

2) х² + 2х - 1.

482. Вставте пропущені знаки ≤ або ≥ так, щоб при будь-яких значеннях х нерівність була правильною:

1) х² + 4х + 4 … 0;

2) -х² + 30х - 225 … 0;

3) -x² - 8х - 16 … 0;

4) 36 - 12х + х² … 0.

483. Доведіть, що при будь-яких значеннях змінної вираз х² + 4х + 5 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

484. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної вираз х² + 6х + 11 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

485. Замініть зірочки одночленами так, щоб одержаний тричлен був повним квадратом (знайдіть три різних розв’язки задачі):

1) * - 48ху + *;

2) * + 20ab + *.

486. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена, якщо де можливо:

1) х² - 3х + 9;

2) 49а² - 140аb + 100b²;

3) 4а² - 9b² - 12аb;

4) 16у² + 8y - 1;

5) х² + ху + у²;

6) -xy + у^{2 +} 4х².

Вправи для повторення

487. При яких значеннях х:

1) квадрат двочлена х + 2 на 225 більший за квадрат двочлена х - 3;

2) квадрат двочлена 2х - 6 у 4 рази більший за квадрат двочлена х + 3?

488. Спростіть вираз:

1) (m - 2)(m + 3)(m - 5);

2) (р² + 1)(р⁸ - p⁶ + p^{4 -} р² + 1).

Цікаві задачі для учнів неледачих

489. Маємо пісочні годинники двох видів: одними відміряють 7 хв, а іншими - 11 хв. Як за допомогою цих годинників відміряти рівно 15 хв?