Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 13. Квадрат суми і квадрат різниці

Піднесемо до квадрата двочлен а + b:

(а + b)² = (а + b)(а + b) = а² + аb + bа + b² = а² + 2ab + b². Отже,

Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Ця тотожність дає змогу підносити до квадрата суму двох довільних виразів не за правилом множення многочленів, а скорочено: одразу записувати квадрат (а + b)² у вигляді а² + 2аb + b². Тому формулу квадрата суми називають ще формулою скороченого множення. Читають її так.

Приклад 1. Подайте вираз (3x + 5y)² у вигляді многочлена.

Розв’язання.

(3х + 5у)2 = (3а;)² + 2 ∙ 3х ∙ 5у + (5у)² = 9x² + 30ху + 25у².

Якщо проміжні дії можна виконати усно, то можливо одразу записувати відповідь:

(3х + 5у)² - 9m² + 30ху + 25y².

Піднесемо тепер до квадрата двочлен а - b:

(а - b)² = (а - b)(а - b) = а2 - аb - bа + b² = а² - 2аb і b².

Отже,

Одержали формулу квадрата різниці, яка також є формулою скороченого множення. Читають її так.

Зауважимо, що формулу квадрата різниці можна одержати, якщо переписати різницю а - b у вигляді суми а + (- b):

(а - b)2 = (а + (-b))² = а² + 2а ∙ (-b) + (-b) = а² - 2аb + b².

Приклад 2. Піднести двочлен 4а - 7b до квадрата.

Р о з в’ я з а н н я. За формулою квадрата різниці маємо: (4а - 7b) = (4а)² - 2 ∙ 4а ∙ 7b + (7b)² = 16а² - 56аb + 49b².

Нам уже відомо, що x² = (-x)², тому при піднесенні до квадрата виразів вигляду -а - b і -а + b доцільно попередньо замінити їх на протилежні їм вирази:

Приклад 3. Перетворити на многочлен:

1) (-х - 6m)²;

2) (- 2р² + 9q)².

Розв’язання.

1) (-x - 6m)² = (х + 6m)² = x² + 12xm + 36m²;

2) (-2р² + 9q)²= (2р² - 9q)²= 4р⁴ - 36p²q + 81q².

Приклад 4. Спростити вираз (-5m³ - 2n²)² + (2m³ - 5n²)².

Р о з в ’ я з а н н я. (-5m³ - 2n²)² + (2m³ - 5n²)² = (5m³ + 2n²)² + 4m⁶ - 20m³n² + 25n⁴ = 25m⁶ + 20m³n² + 4n⁴ + 4m⁶ - 20m³n² + 25n⁴ = - 29m⁶ +29n⁴.

A ще раніше…

Деякі правила скороченого множення були відомі стародавнім китайським і грецьким математикам більше ніж 4 тисячі років тому. Тоді вони формулювали ці правила не за допомогою букв, а словами, і доводили геометрично, тобто тільки для додатних чисел.

Наприклад, тотожність (а + b)² = а² + 2аb + b² у другій книзі «Начал» Евкліда (III ст. до н. е.) формулювалася так: «Якщо пряма лінія (мається на увазі відрізок) як-небудь розсічена, то квадрат на всій прямій дорівнює квадратам на відрізках разом із двічі узятим прямокутником, що міститься між відрізками». Тут «квадрат на всій прямій» слід розуміти як (а +b)², «квадрати на відрізках» як а² і b², «прямокутник, що міститься між відрізками» як ab.

Геометричний зміст цієї тотожності зображено на малюнку 4.

Мал. 4

Запишіть і прочитайте формулу квадрата суми. Запишіть і прочитайте формулу квадрата різниці. Як піднести до квадрата вирази -а -b і -а + b?

417. (Усно) Які з виразів є квадратами суми двох виразів, а які - квадратами різниці:

1) а² + b²;

2) (m - n)²;

3) а² - b²;

4) (с + 5);

5) (а + 2)²;

6) (а - 5)³;

7) (2 - р)²;

8) (t + m)²?

418. (Усно) Які з рівностей є правильними:

1) (а - 2)² = а² - 2^а;

2) (b + 3)² = b² + 2 ∙ b ∙ 3 + 3²;

3) (m + 5)² = m² + m ∙ 5 + 5²;

4) (7 - р)² = 7² - 2 ∙ 7 ∙ р + р²?

419. Які з рівностей є правильними:

1) (m - 3)² = m² - 2 ∙ m ∙ 3 + 3²;

2) (р + 7)²=p² + 7²;

3) (2 - a) = 2² - 2 ∙ а + а²;

4) (b + 3)² = b² + 2 ∙ b ∙ 3 + 3²?

420. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a + c)²;

2) (m - х)²;

3) (b + t)²;

4) (р - у)².

421. Піднесіть до квадрата:

1) (m - n)²;

2) (х + b)²;

3) (р - с)²;

4) (а + d)².

422. (Усно) Подайте вираз у вигляді многочлена:

1) (а + 4)²;

2) (х - 3)²;

3) (b + 2)²;

4) (m - 5)².

423. Піднесіть до квадрата:

1) (х - 5)²;

2) (а + 3)²;

3) (10 - m)²;

4) (7 + у)²;

5) (с - 0,2)²;

6) (0,8 + х)².

424. Перетворіть на многочлен:

1) (2х + 5)²;

2) (7b - 4)²;

3) (10х + 3у)²;

4) (9а - 4)²;

5) ( х + 3у)²;

6) (5m - 0,2t)².

425. Перетворіть на многочлен:

1) (а - 3)²;

2) (х + 9)²;

3) (с + 0,3)²;

4) (2а - 5)²;

5) (4у + 3)²;

6) (9а - 8b)²;

7)(4b + 7а)²;

8) (m - 2n)² ;

9) (0,5р + 2у)².

426. Виконайте дії:

1) (3а + 1)² - 1;

2) 12ab + (2а - 3b)²;

3) (4а + 8)² - 16(а² + 4);

4) - 4у² - (5х - 2у)² - 25х².

427. Спростіть:

1) 20а + (а - 10)²;

2) (3m + 5)² - 9m²;

3) (х + 4)² - 8(х + 2);

4) (2а - 7b)² - (4а² + 49b²).

428. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (а - 2)² + а(а + 4);

2) (b + 1)(b + 2) + (b - 3)².

429. Спростіть вираз:

1) (m - 5)² - m(m - 10);

2) (х + 4)² + (х + 1)(х - 9).

430. Розв’яжіть рівняння:

1) (х + 3)² - х² = 12;

2) (у - 2)2 = у² - 2у.

431. Розв’яжіть рівняння:

1) (х - 4)² - х² = 24;

2) (у + 5)² = 5у + у².

432. Заповніть у зошиті таблицю за зразком:

433. Заповніть у зошиті таблицю за зразком:

434. За формулою квадрата суми або квадрата різниці обчисліть:

1) (100 + 2)²;

2) 41²;

3) 99²;

4) 3,8².

435. Обчисліть, використовуючи формули квадрата суми або квадрата різниці:

1) (40 - 1)²;

2) 89²;

3) 501²;

4) 4,02².

436. Серед виразів (х - у)², (х + у)², (-у + х)², (-х - у)² знайдіть ті, що є тотожно рівними виразу:

1) (у + х)²;

2) (у - х)².

437. Подайте у вигляді многочлена:

1) (-р + 5)²;

2) (-а - 7)²;

3) (-р - 2m²;

4) (-3b + с)².

438. Перетворіть на многочлен:

1) (-а + 3)²;

2) (-b - 5)²;

3) (-4m + р)²;

4) (-а - 3b)².

439. Перетворіть на многочлен:

1) (-9b + 4m)²;

2) (-7а - 10b)²;

3) (-0,5m - 0,4p)²;

4) (-1 х + 6y)²;

5) (0,04p - 50q)²;

6) (-0,25с - 0,2d)².

440. Подайте у вигляді многочлена:

1) (-3а + 5х)²;

2) (-8x - 5y)²;

3) (-4b - 0,5y)²;

4) (8x + у)²;

5) (-0,02а - 10b)²;

6) (-0,15m + 0,1n)².

441. Виконайте дію:

1) (а² - 9)²;

2) (7 - у³)²;

3) (2а + c⁴)²;

4) (-5а + b³)²;

5) (4а² - 5m³)²;

6) (p⁴ + 9q³)².

442. Піднесіть до квадрата:

1) (а² + 2a)²;

2) (m³ -12m)²;

3)(1 p + 3p²)²;

4) (7ab - 2b³)²;

5) (10р⁶ + р⁴a³)²;

6) (0,2m²n + 15m³n⁴)².

443.Подайте вираз у вигляді многочлена:

1) (b⁷ - 5)²;

2) (a³ + 2b⁴)²;

3) (8х⁶ - х²)²;

4) 6m³ + 1 m⁵)² ;

5) (7а² + 8aр³)²;

6) (b²m³ - b³m²)².

444. Спростіть вираз:

1) (3a - 4b) - (3a + 4b)²;

2) (2a - 3b)² + (a - 6b)²;

3) a(2a - 1)² - 4a(a + 5)²;

4) 12m² - 3(2m - n)² - 12mn.

445. Виконайте дії:

1) (7a + 9b)² - (7a - 9b)²;

2) (10a - 3b)² + (6a + 5b)²;

3) 18x² - 12xy - 2(3x - y)²;

4) a(9a - 1)² - 81a(a - 2)².

446. Які одночлени треба записати замість зірочки, щоб утворилася тотожність:

1) (* + 2a)² = b² + 4ab + 4a²;

2) (2b - *)² = 4b² + 9 - 12b;

3) (3a⁴ + *)² = * + 30a⁴ + 25;

4) (5x² - *)² = 25x⁴ - * + 9m²?

447. Замініть зірочку одночленом так, щоб одержати тотожність:

1) (* - 7)² = х² - 14x + 49;

2) (4р³ + *)²= * + 9 + 24р³.

448. Подайте вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

1) (x - 2)(х + 1)²;

2) (х + 1)(x - 5)².

449. Доведіть тотожність:

1) (а + b)² + (а - b)² = 2(а² + b²);

2) m² + n² = (m + n)2 - 2mn.

450. Доведіть тотожність:

1) 4аb = (а - b)2 - (а + b)²;

2) (х - y)2 + 2xу = х² + y².

451. Розв’яжіть рівняння:

1) (3x - 4)² - (3x + 2)² = -24;

2) (2х - 3)² + (1 - x) (9 + 4x) = 18.

452. Розв’яжіть рівняння:

1) х(х - 2) - (х + 5)² = -1;

2) (2у - 7)2 + (5 - 4y)(y - 7) = 3(у - 6).

453. Використовуючи малюнок 5, поясніть геометричний зміст формули (а - b)² = а² - 2ab + b² для а > 0, b > 0, а > b.

Мал.5

454. Спростіть вираз:

((((а + b)2 - 2аb)² - 2а²b²)² - 2a⁴b⁴)2 - 2а⁸b⁸.

455. Доведіть формулу скороченого множення для:

1) куба суми: (а + b)³ = а³ + 3а²b + 3аb² + b³;

2) куба різниці: (а - b)³ = а³ - 3а²b + 3ab² - b³.

Р о з в ’ я з а н н я.

1) (а + b)³ = (а + b)²(а + b) = (а² + 2аb + b²)(а + b) = а³ + а²b + 2а²b + 2аb² + b2a + b³ = а³ + 3а²b + 3аb² + b³.

456. Піднесіть до куба за формулами скороченого множення:

1) (а + 2)³;

2) (2b - 1)³.

457. Піднесіть до куба:

1) (х - 2)³;

2) (2m + 1)³.

Вправи для повторення

458. Знайдіть значення виразy:

(5,4: - 11 ) ∙ 2,25 - 4 .

459. Знайдіть три послідовних парних натуральних числа, якщо добуток двох менших з них на 104 менший від добутку двох більших.

460. Доведіть, що значення виразу:

1) 8¹⁰ - 8⁹ + 8⁸ є кратним числу 152;

2) 15⁴ - 10⁴ - 5⁴ ділиться на 80.

Цікаві задачі для учнів неледачих

461. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу (n² + n)(n + 2) ділиться на 6.