Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

§ 12. Розкладання многочленів на множники способом групування

У § 10 ми ознайомилися з розкладанням многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки. Існують й інші способи розкладання многочленів на множники, наприклад, спосіб групування.

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен

ab - 5а + 2b - 10.

Р о з в ’ я з а н н я. У даному випадку в усіх членів цього многочлена немає спільного множника. Тому тут доцільно застосувати саме спосіб групування. Розіб’ємо доданки на дві групи так, щоб доданки у кожній групі мали спільний множник:

ab - 5а + 2b - 10 = (ab - 5а) + (2b - 10).

З кожної групи винесемо спільний множник за дужки:

(аb - 5а) + (2b ∙ 10) = а(b - 5) + 2(b - 5).

Тепер одержаний для обох груп спільний множник b - 5 винесемо за дужки:

а(b - 5) + 2(b - 5) = (b - 5)(а + 2).

Отже, ab - 5а + 2b - 10 = (b - 5)(а + 2).

Згрупувати доданки даного многочлена можна було і в інший спосіб.

Наприклад, ab - 5а + 2b - 10 = (а5 + 2b) + (-5а - 10) = b(а + 2) - 5(а + 2)= (a + 2)(b - 5).

Приходимо до висновку, що для розкладання многочлена на множники способом групування варто виконувати дії у такій послідовності:

Для перевірки правильності розкладання слід перемножити одержані множники. Добуток цих множників має дорівнювати даному многочлену.

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен

2а + 2b - m + am + bm - 2.

Р о з в ’ я з а н н я.

1-й спосіб.

Згрупуємо члени многочлена у три групи по два доданки так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник. Матимемо:

2а + 2b - m + am + bm - 2 = (2а + am) + (2b + bm) + (-m - 2) = a(2 + m) + b(2 + m) - 1(2 + m) = (2 + m)(a + 6 -1).

2-й спосіб.

Згрупуємо тепер члени многочлена у дві групи по три доданки так, щоб доданки у кожній групі мали спільний множник. Матимемо:

2а + 2b - m + am + bm - 2 = (2а + 2b - 2) + (am + bm - m) = 2(a + b -1) + m(a + b - 1) = (a + b - 1)(2 + m).

Приклад 3. Розкласти на множники тричлен х² - 6х + 8.

Р о з в ’ я з а н н я. Враховуючи, що 6х = -2х + (-4х), можемо переписати многочлен як суму чотирьох доданків, згрупувати їх і далі розкласти на множники:

х² - 6х + 8 = х² - 2х - 4х + 8 = (х² - 2х) + (-4х + 8) = х(х - 2) - 4(х - 2) = (х - 2)(х - 4).

Якби ми представили доданок 6х у вигляді суми двох інших доданків, то не змогли б застосувати групування і розкласти па множники. Пропонуємо пересвідчитися в цьому самостійно. «Секрет» полягає в тому, що саме доданки -2х і -4х сприяли появі спільного множника після розбиття многочлена на групи.

Яку послідовність дій застосовують для розкладання на множники способом групування?

391. У многочлені са - 2с + 5а - 10 назвіть групу із спільним множником а і групу із спільним множником 2.
392. Закінчіть розкладання многочлена на множники:

ху + yt - 2х - 2t = (ху - 2х) + (yt - 2t) = х(у - 2) + t(y - 2) = …

393. Закінчіть розкладання многочлена на множники:

ab - cd - ad + cb - (ab - ad) + (cb - cd) - a(b - d) + с(5 - d) = …

394. Подайте вираз у вигляді добутку многочленів:

1) а(b + с) + 3b + 3с;

2) р(х - у) + 7х - 7у;

3) m(t - 5) + t - 5;

4) b(m - с) + с - m.

395. Розкладіть на множники:

1) с(х - у) + 3х - 3у;

2) а(с + m) + 9с + 9m;

3) х(с + 5) + с + 5;

4) у(р - 3) + 3 - р.

396. Розкладіть многочлен на множники:

1) ах + ау + 6х + 6у;

2) 5m - 5n + рm - рn;

3) 9р + mn + 9n + mр;

4) ab + ас - b - с;

5) 1 - by - у + b;

6) mа + 2а - 2m - 4.

397. Подайте у вигляді добутку многочленів:

1) ab + 5a + bm + 5m;

2) mp - b + bp - m;

3) am - b + m - ab;

4) cm - 3dm + cp - 3dp.

398. Запишіть вираз ab - ас + 2b - 2c у вигляді добутку та знайдіть його значення, якщо а = -1; b = 5,7; с - 6,7.
399. Запишіть вираз 5х - 5у + xt - yt у вигляді добутку та знайдіть його значення, якщо х = 7,2; у = 6,2; t = -4,5.
400. Подайте у вигляді добутку многочленів:

1) а³ + а² + а + 1;

2) b⁵ - b³ - b² + 1;

3) с⁴ + 3с³ - с - 3;

4) а⁶ - 5а⁴ - 3а² + 15;

5) m² - mn - 8m + 8n;

6) ab - 9b + b² - 9а;

7) 7t - ta + 7а - t²;

8) ху -ty - у² + xt.

401. Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) b² + xb - х²у - xby;

2) m² + 7m - bm - 7b;

3) 4а - ах + 4х - х²;

4) mа - mb - m^{2 +} ab.

402. Розкладіть нa множники:

1) х² + bх - b²у - bху;

2) а²b + с² - abc - ас;

3) 7а³m + 14а² - 6bm - 3аm²b;

4) 21х + 8tm³ - 24m² - 7xtm.

403. Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1) 157 ∙ 37 + 29 ∙ 157 + 143 ∙ 42 + 24 ∙ 143;

2) 9 ∙ 5 - 16 ∙ 4,5 + 10 ∙ 5 -16.

404. Знайдіть значення виразу, попередньо розклавши вираз на множники:

1) 5m² - 5mn - 7m + 7n, якщо m = 1,4; n = -5,17;

2) 3а³ - 2b³ - 6а²b² + ab, якщо а = ; b = .

405. Знайдіть значення виразу, попередньо розклавши вираз на множники:

1) 27x³ + x² + 27x + 1, якщо х = - ;

2) 5р + рх² - р²х - 5х, якщо р = 2,5; х = 2,4.

406. Запишіть вираз у вигляді добутку:

1) 45x³y⁴ - 9x⁵y³ - 15x²y² + 3х⁴у;

2) 2,1mn² - 2,8mр² - 2,7n³ + 3,6np².

407. Розкладіть на множники:

1) 8m²с - 6m²х - 16cx³ + 12x⁴;

2) 1,2ху³ + 1,6x³у² - 2х⁷у - 1,5x⁵y².

408. Розв’яжіть рівняння:

1) х2 - 5х + 40 = 8х;

2) 5у³ + 2у² + 5у + 2 = 0.

409. Розв’яжіть рівняння:

1) x² + 7x - 7 = х;

2) 7у³ + у² + 7у + 1 = 0.

410. Розкладіть на множники:

1) at²- ар + t²- tp - bt² + bp;

2) ax² + ay² - mx² - my² + m - a;

3) mb - m + 7 - 7b - 7m² + m³;

4) 6ax + 3аy - аz - 6bx - 3by + bz.

411. Розкладіть на множники:

1) а²b + а + ab² + b + 9ab + 9;

2) 8ax + 4bx - 4x + 10аm + 5bm - 5m.

412. Розкладіть на множники тричлен:

1) х² + 5x + 4;

2) x² - 5x + 4;

3) x² + x - 6;

4) а² + 4ab + 3b².

413. Розкладіть на множники:

1) х² - 6х + 5;

2) х² - х - 6;

3) х2 + 2х - 15;

4) а² + 5аb + 6b².

Вправи для повторення

414. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

1) 0,8(а - 5) - 0,6(2 - а), якщо а = -5;

2) (7x — 114y) - (18х - 27y), якщо х = 2015, у = - .

415. Знайдіть корінь рівняння:

1) 6х(х - 1) - 2х(3х - 5) = -8;

2) 5(2 - х²) - 4х(х - 1) = 3х(1 - 3х).

Цікаві задачі для учнів неледачих

416. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких виконується нерівність

< < .

Домашня самостійна робота № 2

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А-Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть варіант правильної відповіді.

1. Який з виразів не є многочленом?

А) ;

Б) х² - 2х + 7;

В) - b - 19;

Г) 6с².

2. k(n - m) = …
3. A) kn - m;

Б) n - km;

В) kn + km;

Г) kn - km.

3. 4c + 8 = …
4. A) 2(c + 4);

Б) 4(c + 2);

В) 8(c + 1);

Г) 4(c - 2).

4. Якому з многочленів дорівнює вираз (х - 5)(х + 2)?
5. A) х² + 3х - 10;

Б) х² - 3х - 10;

1. B) х² + 3х + 10;

Г) х² - 3х - 3.

5. Подайте вираз (3m² - m) + (4m² - 5) - (7m² + 3) у вигляді многочлена стандартного вигляду.

А) 14m² - m - 2;

Б) - m - 2;

В) - m - 8;

Г) 8 - m.

6. Розкладіть вираз am - an - 2m + 2n на множники.
7. A) (m - n)(а - 2);

Б) (m - n)(а + 2);

1. B) (m + n)(а - 2);

Г) (m - а)(n - 2).

7. При якому значенні х значення різниці одночлена 8х і многочлена 3х - 4х² + 2 дорівнює значенню многочлена 3х + 4х² - 4?

А) 2;

Б) 1;

В) -1;

Г) 0.

8. Обчисліть 297 ∙ 397 - 397² найзручнішим способом.

А) 39 700;

Б) -39 700;

В) -29 700;

Г) 29 700.

9. Знайдіть значення виразу (х - 5)(х + 2) - (х - 7)(х + 4), якщо х = 10,2.

А) 18,2;

Б) 18;

В) 28,2;

Г) 7,8.

10. Розв’яжіть рівняння х² + 7х = 2(х + 7).

А) -7; 2;

Б) -7;

В) 2;

Г) -2; 7.

11. 1 Значення виразу 27⁴ - 3⁹ є кратним числу …

А) 7;

Б) 11;

В) 13;

Г) 17.

12. Знайдіть найбільше із чотирьох послідовних парних чисел, якщо добуток першого і третього чисел на 44 менший від добутку двох інших.

А) 10;

Б) 6;

В) 18;

Г) 14.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 7 - § 12

1. Виконайте множення:

1) m(а - b + 3);

2) -р(х + у - 4).

2. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7а - 7b;

2) хm + уm.

3. Виконайте множення:

1) (а + 2)(х - 3);

2) (6 - 5)(с - m).

4. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (2х² - х) + (3х - 5) - (х² - 5);

2) -2ху(х² - 3ху + у²).

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9а² - 12аb;

2) 7х - 7у + ах - ау.

6. Спростіть вираз (x + 5)(x - 2) - х(x + 3).
7. Розв’яжіть рівняння (2х + 3)(3x - 7) = x(6х - 3) - 17.
8. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9m³ - 3m⁴ - 27m⁸;

2) m² + 2n - 2m - mn.

9. Знайдіть чотири послідовних цілих числа, добуток двох менших з яких на 90 менший за добуток двох більших.

Додаткові вправи

10. Доведіть, що сума п’яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5.
11. Розв'яжіть рівняння х² - 5х = 4х - 20.
12. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (х² - 2х + 5)(х² + 3х - 1);

2) (а + 3)(а - 5)(а - 1).