Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§14 Тригонометричні функції подвійного аргументу

Якщо у формулах додавання вважати а = β, то дістанемо формули, що виражають тригонометричні функції подвійного аргументу 2а через функції аргументу a: sin(a + а) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa.

Отже,

sin2a = 2sina cosa.   (1)

Аналогічно,

cos2a = cos²a - sin²a,   (2)

   (3)

Замінимо у формулі (2) cos²a на 1 - sin²a або sin²a на 1 - cos²a й дістанемо ще дві формули косинуса подвійного аргументу: cos2a = 1 - 2sin²a або cos2a = 2cos²a - 1.

Залежно від конкретних умов використовується одна із цих формул. Розглянемо приклади застосування встановлених формул.

Задача 1. Обчисліть2sin15°cos15°.

Розв’язання. За формулою (1), прочитаною справа наліво, маємо:

2sin15°cos15° = sin(2 ∙ 15°) = sin30° = .

Задача 2. Обчисліть sin75°cos75°.

Розв’язання, Для застосування формули (1) помножимо й поділимо даний вираз на 2. Маємо:

Задача 3. Спростіть вираз cos⁴2a - sin⁴2a.

Розв’язання. Розкладемо даний вираз на множники як різницю квадратів виразів cos²2a і sin²2a. Маємо:

cos⁴2a - sin⁴2a = (cos²2a)² - (sin²2a)²= (cos²2a - sin²2a) (cos²2a + sin²2a).

Різниця в перших дужках за формулою (2) дорівнює cos(2 ∙ a) = cos4a, а вираз у других дужках на основі відомої тотожності дорівнює 1.

Отже, cos⁴2a - sin⁴2a = cos4a.

Дізнайтеся більше

Крім розглянутих співвідношень між тригонометричними функціями одного і двох аргументів, існують й інші співвідношення, що виражаються відповідними формулами. Наведемо дві групи таких формул.

Формули перетворення суми й різниці однойменних тригонометричних функцій на добуток:

2. Формули, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного аргументу:

Пригадайте головне

1. На основі яких формул установлюють формули тригонометричних функцій подвійного аргументу?

2. Відтворіть формули синуса, косинуса і тангенса подвійного аргументу.

3. Яку із зазначених у § 15 формул можна подати у трьох варіантах?

Розв'яжіть задачі

282. Дано: sina = 0,6, cosa = -0,8. Знайдіть значення виразу:

1) sin2a; 2) cos2a; 3) tg2a.

283. Обчисліть:

284. Спростіть вираз:

285. Доведіть тотожність: 1) 2sin²a + cos2a = 1;

2) (sina + cosa)² = 1 + sin2a;

3) 2cos²a - cos2a = 1.

286. Знайдіть значення виразу:

287. Обчисліть:

288. Спростіть вираз:

289. Доведіть тотожність:

290. Доведіть тотожність:

291. Знайдіть sin2a і cos2a, якщо

292. Обчисліть:

293. Спростіть вираз:

294. Доведіть тотожність:

295. Доведіть тотожність:

296. Знайдіть значення виразу:

1) sin2x, якщо sinx - cosx = ;

2) sin2a, якщо sin a + cos a = .

297. Що більше: sin2a чи 2 sina, якщо 0 < a < ?

298. Спростіть вираз:

299. Доведіть тотожність: 1) sin 10°cos20°cos40° = .

Вказівка. Помножте й поділіть ліву частину тотожності на 2cos10°.

300. Доведіть тотожність:

301. Дано: Знайдіть:

Проявіть компетентність

302. 1) У рівнобедреному трикутнику синус кута при основі дорівнює . Знайдіть синус і косинус кута при вершині.

2) Знайдіть sina, якщо