Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§15 Основні властивості тригонометричних функцій

Систематизуємо основні властивості тригонометричних функцій, що їх установлено в попередніх параграфах, а також з’ясуємо деякі нові їх властивості. Найкраще властивості функції ілюструє її графік. За графіком функції можна знайти, за яких значень аргументу значення функції додатні, від’ємні, дорівнюють нулю; на яких проміжках вона зростає чи спадає тощо. Однак для з’ясування властивостей функції не завжди можна скористатися графіком, бо часом його не так просто побудувати. Більше того, для побудови графіка незайвими бувають деякі відомості про функцію, що їх встановлюють різними способами. Розглянемо ті властивості тригонометричних функцій, які полегшать побудову їх графіків, а потім за графіками встановимо деякі інші властивості цих функцій.

Область визначення та область значень. Раніше ми встановили, що синус і косинус існують за будь-яких значень числового аргументу. Отже, областю визначення і синуса, і косинуса є множина всіх дійсних чисел: D(sin) = R, D(cos) = R. Для функції у = tgx D(tg) — множина дійсних чисел, крім чисел виду + k, k ∈ Z . Областю визначення котангенса є множина дійсних чисел, крім чисел виду k, k ∈ Z.

Як уже зазначалося, виходячи з означень синуса і косинуса числа, усі їх значення належать числовому відрізку [-1; 1]. Причому для будь-якого числа а із цього відрізка можна знайти безліч чисел, синус або косинус яких дорівнює числу а. Отже, множиною (областю) значень функцій синус і косинус є числовий відрізок [-1; 1]: Е(sin) = [-1; 1], Е(cos) = [- 1; 1].

Зверніть увагу:

з цього випливає, що графіки функцій у = sinx та у = cosx розміщуються в смузі, обмеженій прямими у = 1 та у = -1.

На відміну від синуса і косинуса, значення функцій тангенса і котангенса можуть бути будь-якими дійсними числами. Отже, областю значень цих функцій є множина всіх дійсних чисел: Е(tg) = R, Е(ctg) = R.

Задача 1. Знайдіть найбільше й найменше значення виразу 1 + sinx cosx.

Розв’язання. Перетворимо вираз sinx cosx, одночасно помноживши й поділивши його на 2. Маємо:

Оскільки множиною значень синуса є відрізок [-1; 1], тобто -1 ≤ sin2x ≤ 1, то sin2x лежить у межах

Додавши 1 до всіх частин цієї подвійної нерівності, дістанемо верхню та нижню межі значень шуканого виразу:

Отже, найбільше значення виразу 1 + sinxcosx = 1 + sin2x дорівнює , а найменше значення становить .

Парність і непарність. На основі співвідношень між значеннями відповідних тригонометричних функцій протилежних чисел, а саме: sin(-x) = -sinx, cos(-x) = cosx, tg(-x) = -tgx, ctg(-x) = -ctgx, та враховуючи, що області визначення всіх цих функцій симетричні відносно точки О, доходимо висновку:

функція косинус — парна, функції синус, тангенс і котангенс — непарні.

Із цього випливає, що графік функції у = cosx, як і будь-якої парної функції, симетричний відносно осі ординат, а графіки функцій синус, тангенс і котангенс симетричні відносно початку координат.

Задача 2. Доведіть, що функція у = 1 - 2sin²x є парною. Доведення.

I спосіб. Оскільки 1 - 2sin²x = cos2x, то маємо функцію у = cos2x, а функція косинус — парна.

II спосіб. Уведемо позначення f(x) = 1 - 2sin²x. Оскільки областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел, то для доведення, що дана функція є парною, треба показати: f(-х) = f(х) для всіх х із області визначення. Знайдемо f(-х). Маємо: f(-х) = 1 - 2sin²(-x) = 1 - 2(sin(-x))². Оскільки sin(-x) = -sinx, бо синус — непарна функція, то після перетворення одержаний вираз набуде вигляду:

1 - 2(sin(-x))²= 1 - 2(-sinx)²= 1 - 2sin²x.

Тобто f(-x) = f(x), отже, функція у = 1 - 2sin²x — парна.

До такого способу доведення вдаються в тому разі, якщо вираз, що задає функцію, не можна звести до такого вигляду, коли парність чи непарність функції є очевидною.

Періодичність. Багато процесів і явищ, природних і зумовлених діяльністю людини, мають повторювальний характер. Наприклад, одна й та сама фаза Місяця настає через кожні 27,3 доби, маятник годинника повертається в одне й те саме положення через рівні проміжки часу. Такі явища і процеси називають періодичними, а функції, що їх описують, — періодичними функціями. Взагалі, функція f називається періодичною, якщо існує таке додатне число Т, що для будь-якого х із області визначення функції числа х - Т і х + Т також належать цій області визначення, і виконується рівність f(x) = f(x + Т) = f(x - Т).

Число Т в даному випадку називають періодом функції.

З означення випливає: якщо Т — період функції, то її періодами є числа 2Т, 3Т,…, nТ,…, а також -Т, -2Т, -3Т,…, -nТ,…, де n ∈ А. Отже, періодична функція має безліч періодів. Серед них виділяють найменший додатний період, який зазвичай називають основним.

Усі тригонометричні функції є періодичними. Один з періодів кожної з них дорівнює 2, що випливає з означення цих функцій. Можна довести, що:

2 — найменший додатний період функцій синус і косинус.

А функції тангенс і котангенс мають менший від 2 додатний період, він дорівнює . Тобто

tg(x + ) = tgn, ctg(x + ) = ctg.

У цьому легко переконатися за допомогою осі тангенсів (котангенсів). Справді, всі числа, що відрізняються між собою на , зображаються на одиничному колі діаметрально протилежними точками. Тому кожній парі таких чисел відповідає на осі тангенсів (котангенсів) одна точка. Із цього випливає, що значення їх тангенсів (котангенсів) рівні між собою.

— найменший додатний період тангенса і котангенса.

Це твердження, а саме, що є найменшим дадатним періодом, ми приймемо без доведення.

Якщо 2 — період синуса і косинуса, то числа виду 2 k, де k — ціле, відмінне від 0, також є періодами цих функцій. Аналогічно для функцій у = tgx та у = ctgx періодами є числа виду k, k ∈ Z, k ≠ 0.

Зверніть увагу:

властивість періодичності тригонометричних функцій використовують, крім іншого, для обчислення значень тригонометричних функцій чисел, які набагато перевищують значення періоду. Для цього від даного числа віднімають максимально можливу кількість періодів і шукають значення відповідної функції отриманої різниці.

Задача 3. Обчисліть sin1470°.

Розв’язання. Період синуса дорівнює 360°. Щоб знайти, скільки періодів треба відняти від 1470°, поділимо 1470 на 360.

Маємо: 1470 = 360 ∙ 4 + 30.

Отже, sin1470° = sin(360° ∙ 4 + 30°) = sin30° = .

Задача 4. Обчисліть

Розв’язання.

Оскільки найменший додатний період тангенса дорівнює , то

Корисно пам’ятати й таку властивість періодичних функцій: якщо функція у = f(x) періодична і має період Т, то періодичними є також функції у = f(x + b) з тим самим періодом Т, а також у = f(kx) з періодом (b і k — довільні числа, k ≠ 0).

Це твердження ми приймаємо без доведення.

З нього випливає, що найменший додатний період, наприклад, функції у = cos3x, дорівнює , а функції у = tg — відповідно Найменші додатні періоди функцій

відповідно дорівнюють 2 і .

Виходячи із сутності періодичної функції, встановити всі її властивості й здійснити побудову графіка достатньо на проміжку, довжина якого дорівнює найменшому додатному періоду цієї функції. На всіх інших числових проміжках, які дістають з даного додаванням або відніманням відповідної кількості періодів, ці властивості й побудована частина графіка повторюватимуться.

Дізнайтеся більше

До періодичних належать не лише тригонометричні функції. Ще одним прикладом періодичної функції є функція у = {х}. Вираз {х} означає дробову частину числа х — різницю між х і найбільшим цілим числом, яке не перевищує х.

Наприклад,

{2,5} = 2,5 - 2 = 0,5;   {6,95} = 6,95 - 6 = 0,95;

{-3,8} = -3,8 - (-4) = 0,2;   {8} = 8 - 8 = 0.

Найменший додатний період цієї функції дорівнює 1. Її графік зображено на малюнку 62.

Періодичною є лінійна функція f(x) - kx + b, якщо k = 0. Тоді формула, що її задає, набуває вигляду а(х) = 0 ∙ х + b, тобто а(х) = b. Очевидно, що періодом цієї функції є будь-яке відмінне від нуля дійсне число. Найменшого додатного її періоду вказати не можна.

Мал. 62

Пригадайте головне

1. Яких значень можуть набувати функції синус і косинус?

2. Яких значень можуть набувати функції тангенс і котангенс?

3. Чи завжди можна знайти синус і косинус числа?

4. Чи завжди можна знайти тангенс (котангенс) числа? Назвіть по три числа, для яких цього зробити не можна, окремо для тангенса і для котангенса. Як записати в загальному вигляді числа, для яких не існує: тангенс; котангенс?

5. Які з тригонометричних функцій є: парними; непарними? Запишіть відповідні рівності, що виражають ці властивості тригонометричних функцій.

6. Яку властивість має графік функції: парної; непарної?

7. Опишіть поняття «періодична функція».

8. Скільки періодів має кожна періодична функція? Назвіть найменший додатний період кожної тригонометричної функції.

9. Як відображається властивість періодичності функції на її графіку?

Розв'яжіть задачі

303. Враховуючи, що областю значень синуса і косинуса є числовий відрізок [-1; 1], тобто -1 ≤ sinx ≤ 1 і -1 ≤ cosx ≤ 1, знайдіть найбільше і найменше значення виразу, записавши відповіді у вигляді подвійної нерівності:

1) 2sinx;   3) 3cosx;   5)cosx; 7) sin²x.

2) sinx + 1;   4) cosx - 2;   6) cos²x;

304. Які з рівностей не можуть бути правильними за жодного значення х:

1) 2sinx = 0;   4) sin2x = -1;

2) 4sinx = 5;   5) 1 + sinx = 1,5;

3) cos3x = 2;   6) 2 - cosx = 0,5?

305. Відомо, що Зважаючи, що періодом синуса є число 2, укажіть ще два числа, синус яких дорівнює .

306. Дано: tg3 = а. Запишіть ще два числа, тангенс яких дорівнює а. Скільки таких чисел існує?

307. Використовуючи властивість періодичності тригонометричних функцій, знайдіть значення виразу:

1) sin405°;   2) cos390°; 3) tg750°;

4) sin(-900°);   5) tg585°;   6) cos420°.

308. Знайдіть множину значень виразу й запишіть її у вигляді подвійної нерівності:

1) 2sinxcosx; 2) cos²х - sin²x; 3) 3 - 2sinxcosx; 4) cosxtgx.

309. Які рівності не можуть бути правильними за жодного значення х:

1) 3sinx - 2 = 5;   4)   2cosx + 3 = 4;

2) sin²x + 1,5 = 2;   5) cos²x + 4 = 5,5;

3) cos²x + 2 = 1,5;   6) sinx ctgx = -1,2?

310. Запишіть вираз, що тотожно дорівнює даному, змінивши знак аргументу на протилежний:

311. Спростіть вираз:

312. Знайдіть значення виразу:

313. Знайдіть найменший додатний період функції:

314. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу:

315. Доведіть, що функція у = sinx cosx є непарною.

316. Установіть, парною чи непарною є функція:

317. Спростіть вираз:

318. Обчисліть значення виразу:

319. Знайдіть найменший додатний період функції:

320. Знайдіть найбільше й найменше значення функції та її період:

1) у = sinx cos2x - cosx sin2x;

2) у = sin2x cos5x + cos2x sin5x;

3) f(x) = 3 + cosx cos3x + sinx sin3x;

4) f(x) = 5-cos2x cos7x + sin2x sin7x;

6) у = sin2x cos2x;

7) у = 4cos²x - 2;

8) у = 2tg3x cos3x.

321. Установіть, яка з функцій є: а) парною; б) непарною; в) ні парною, ні непарною:

322. Перевірте правильність рівності sinп = sin( + n), n ∈ Z. Чи можна із цього зробити висновок, що є періодом функції синус? Відповідь обґрунтуйте.

323. Визначте найменший додатний період функції:

1) у = sin⁴x - cos⁴x;   3) у = 1 - 8 sin²x cos²x;

2) у = sinx cosx;   4)y = cos²x.

324. Знайдіть найбільше значення виразу 2sin²a - 3cos²a.

Проявіть компетентність

325. Задайте формулами функцію синуса та функцію тангенса з однаковим найменшим додатним періодом.