Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§13 Формули додавання тангенса і котангенса

Виведемо формули для tg(a + β) і tg(a - β), скориставшись відповідними формулами для синуса й косинуса та співвідношенням

Поділимо почленно чисельник і знаменник на cosa cosβ ≠ 0. Дістанемо:

Отже,

   (5)

Зрозуміло, що ця формула справедлива, якщо одночасно існують tg(a + β), tga і tgβ, тобто якщо cos(a + β) ≠ 0, cosa ≠ 0, cosβ ≠ 0.

Відповідно,

   (6)

Формули додавання для котангенса встановлюють, скориставшись співвідношенням

А саме:

Замінивши в одержаному виразі tga і tgβ відповідно на та виконавши необхідні перетворення, дістанемо формулу, яка виражає ctg(a + β) через ctga і ctgβ. Надаємо вам можливість зробити це самостійно.

Дізнайтеся більше

Для виведення формули тангенса суми трьох аргументів використовують той самий прийом, що й у випадку тангенса двох аргументів: почленне ділення чисельника і знаменника на cosacosβcosy ≠ 0.

Пригадайте головне

Які формули використовують для виведення формул додавання для тангенса і який прийом застосовують, щоб здобути остаточний результат?

Розв'яжіть задачі

267. Дано: Обчисліть:

1)tg(a + β);   2)tg(a - β).

268. Знайдіть значення виразу:

269. Обчисліть:

270. Обчисліть:

271. Доведіть тотожність:

272. Обчисліть:

273. Обчисліть:

274. Знайдіть: 1) tga, якщо tg(45° - a) = 2; 2) ctga, якщо

275. Спростіть вираз:

276. Тангенси двох кутів трикутника дорівнюють 2 і 3. Знайдіть тангенс третього кута цього трикутника.

277. Дано: а і β — гострі кути. Доведіть, що a + β = 45°.

278. Тангенси двох гострих кутів дорівнюють Доведіть, що різниця цих кутів дорівнює 45°.

279. Якщо а і β — такі гострі кути, що tga = , а tgβ = 7, то а + β = . Доведіть це.

280. Тангенси трьох гострих кутів відповідно дорівнюють Доведіть, що перший кут дорівнює сумі двох інших кутів.

Проявіть компетентність

281. Обчисліть без таблиць і калькулятора: