Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 14. ПАРАЛЕЛОГРАМИ, ЇХ ВИДИ ТА ВЛАСТИВОСТІ

Паралелограм та ного властивості

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На рис. 1 чотирикутник ABCD — паралелограм, оскільки А В || CO, AD || ВС. Властивості паралелограма У паралелограма (рис. 1):

1. Протилежні сторони рівні (АВ = CD, AD = ВС).

2. Протилежні кути рівні (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).

3. Діагоналі точкою перегину діляться навпіл (АО = ОС, BO = OD).

Рис. 1

4. Кожна діагоналі, розбиває паралелограм на два рівних трикутники (∆ВС = ∆CDA, ∆АBD = ∆CDB)

5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180° (∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠D + ∠A = 180°).

6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін: АС² + BD² = АВ² + ВС² + CD² + AD² або АС² + BD² = 2(АВ² + ВО²). Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на пряму, що містить протилежну сторону (або відстань між протилежними сторонами).

На рис. 2 MN і ВК — висоти.

Рис. 2

Ознаки паралелограма

1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотири кутник — паралелограм.

Якщо АО = ОС, ВО = OD (рис. 1), то ABCD — паралелограм.

2. Якщо в чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Якщо А В || CD, АВ = CD (або AD || ВС, AD = ВС), то ABCD — паралелограм (рис. 1).

3. Якщо в чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Якщо АВ = CD і ВС = AD (рис. 1), то ABCD — паралелограм.

Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості

Прямокутникам називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

На рис. З паралелограм ABCD — прямокутник, оскільки ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Рис. 3

Ознаки прямокутника

1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелограм — прямокутник.

2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм прямокутник.

Властивості прямокутника

Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

На рис. 4 паралелограм ABCD — ромб, оскільки АВ = ВС = CD = DA.

Рис. 4

Ознаки ромба

1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикуляри і, то такий паралелограм — ромб.

2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то такий чотирикутник — ромб. Властивості ромба

Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

На рис. 4 у ромба ABCD AC ⊥ BD.

2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

На рис. 4 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8.

Квадратам називають прямокутник, у якою всі сторони рівні.

Квадратом називають ромб, у якого всі кути прямі (рис. 5).

Властивості квадрата

Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба:

1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.

2. Діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.

3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 45° (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильніш. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Діагональ паралелограма утворює з двома його сторонами кути 15° і 45°. Знайдіть більший кут паралелограма (у градусах).

2. Знайдіть менший кут паралелограма, якщо сума двох кутів паралелограма дорівнює 120°.

3. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Відомо, що АВ = 2 см, ВС = 4 см, ∆А = 60°. Знайдіть діагональ АС.

4. У коло, діаметр якого дорівнює , вписано чотирикутник ABCD. Знайдіть діагональ BD, якщо ∠BAD = 30°.

5. У паралелограмі ABCD АВ = 32, AD= 14, BD = 42. Знайдіть АС (у см).

6. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Точка К — середина сторони АВ. Відрізок DK перетинає діагональ АС у точці О. Знайдіть відношення довжин відрізків AО : ОС.

7. Знайдіть менший кут паралелограма, якщо різниця двох кутів паралелограма дорівнює 120°.

. У паралелограмі ABCD АС = 13, AD = 7, BD = 21. Знайдіть АВ.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Доберіть до кожного початку речення (1—4) його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а сторони відносяться як 2:3. Знайдіть периметр паралелограма (у см).

11. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 2 см, а кут між ними 45°. Знайдіть більшу сторону паралелограма (у см).

12. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 12 см. Знайдіть гострий кут ромба (у градусах).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.