Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 13. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДОВІЛЬНИХ ТРИКУТНИКІВ

Теореми синусів і косинусів

Теореми косинусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Наприклад: у ∆ABC (рис. 1)а² = с¹ + b² -2bc cosa, b² = а² +с² -2ас cos β, с² = а² + b² - 2ab cosγ.

Теореми синусів. У довільному трикутнику відношення будь-якої сторони до синуса протилежного кута стале і дорівнює діаметру описаного

навколо нього кола (рис. 2):

= = =2R.

Рис. 1

Варто пам’ятати, що синуси суміжних кутів рівні, а їх косинуси — протилежні числа:

sin(180° - a) = sina, cos(180° - a) = - cosa.

Рис. 2

Poзв’язyвання трикутників

Розв’язуванням трикутників називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) за будь-якими трьома даними елементами, що визначають трикутник.

Розгляньмо три задачі на розв’язування трикутників. При цьому будемо користуватися такими позначеннями для сторін трикутника ABC: АВ = с, ВС = а, СА = b (див. рисунок 1).

Задача 1. Дано: a, b, ∠С. Знайти: с, ∠А, ∠В (розв'язування трикутника за двома сторонами і кутам між ними).

Розв’язання

За теоремою косинусів знаходимо с:

c = .

Користуючись теоремою косинусів, маємо:

cos ∠A = , ∠А = arcos = .

Далі ∠В = 180° - ∠А - ∠С.

Задачи 2. Дано: а, ∠В, ∠С. Знайти: ∠А, b, с (розв'язування трикутника за стороною і двома прилеглими кутами).

Розв’язання

∠А — 180° - ∠В - ∠С. За теоремою синусів знаходимо b і с:

b = a; c = a.

Задача 3. Дано: а, b, с. Знайти: ∠А, ∠В, ∠С (розв'язування трикутника за трьома сторонами).

Розв’язання

Користуючись теоремою КОСИНУСІВ, знаходимо:

cos ∠A = , звідси ∠А = arcos = .

Аналогічно знаходимо АВ. Тоді АС = 180° - ∠А - ∠В.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Дві сторони трикутника дорівнюють V3 см і 1 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть третю сторону трикутника.

2. Виміряти відстань безпосередньо між точками А і В перешкоджає ставок. Для знаходження відстані АВ виміряли відстані від точок А і В до певної точки С та кут АСВ. Обчисліть відстань АВ. якщо були одержані такі результати вимірювань: АС = 30м, ВС = 50 м, ∠ACB = 120°.

3. Сторони трикутника дорівнюють 1 см, 3 см і 5 см. Знайдіть найбільший кут трикутника

4. Сторони трикутника, одна з яких удвічі більша за другу, утворюють 120°, а довжина третьої сторони дорівнює 3 . Знайдіть найменшу сторону трикутника.

5. Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут — 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

6. Два кути трикутника дорівнюють 30° і 45°. Знайдіть сторону, протилежну куту 30°, якщо сторона, протилежна куту 45°, дорівнює см.

7. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює я, а кут при основі — 26- Знайдіть бісектрису, проведену до бічної сторони.

8. Якщо кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 3, то відношення відповідних сторін трикутника є таким

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перегині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між виразом (1—4) та його числовим значенням (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 1 см, а кут між ними становить 135°. Знайдіть третю сторону (у см).

11. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 7 см, 5 см. Знайдіть кут (у градусах), який лежить проти найменшої сторони.

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 6 см. Знайдіть третю сторону (у см).

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.