Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ

Тема 17. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ

Радіанний вимір кутів

Крім градусної міри, існує радіанна міра вимірювання кутів. Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут величиною 1 радіан — це кут із вершиною в центрі кола що спираєтеся на дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола (рис. 1).

Оскільки довжина півкола радіуса R дорівнює R. то розгорнутий кут дорівнює радіан, оскільки = .

Градусна міра розгорнутого кута дорівнює 180°, тому = 180°. Звідси 1 радіан = = 57°17'45". Отже, зі співвідношення = 180° можна переходиш від градусів до радіанів і навпаки (табл. 1). Зокрема, 1° = ≈ 0,017 рад.

Рис. 1

Таблиця 1

Розглянемо приклади переходу від радіанної міри до градусної і навпаки.

Приклад 1. Виразіть у радіанах величини кутів 30°; 45°; 60°; 90°.

Розділивши ліву і праву частини рівності 180° = рад послідовно на 6, 4, 3, 2, одержуємо: 30° = рад; 45° = рад; 60° = рад; 90° = рад.

Приклад 2. Виразіть у градусах величини кутів рад, , рад, рад. Розділивши ліву і праву частини рівності 180° = рад послідовно на 10; 5; 12; 18, одержуємо:

рад = 18°; = 36°; рад = 15°; рад = 10°.

При записі радіанної міри кута позначення «рад» опускають.

Наприклад: захистіть рівності 90° = рад пишуть 90° = .

Радіанна міра кута зручна для обчислення довжини дуги кола. Через те, що кут величиною 1 радіан стягує дугу, довжина якої дорівнює R. кут величиною а радіан стягує дугу довжиною: l = aR.

Якщо радіус кола дорівнює одиниці, то l = а, тобто довжина дуги дорівнює величині центрального кута, що спираєтеся на цю дугу, в радіанах.

Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса

Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 із центром у початку координат, яке називають одиничнім (рис. 2).

Позначимо точку Р₀ — правий кінець горизонтального діаметра Поставимо у відповідність кожному дійсному числу а точку кола за такими правилами:

1) якщо а > 0, то, рухаючись по колу з точки Р₀ у напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною а. Кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою P_a;

2) якщо а < 0, то, рухаючись із точки Р₀ (рис. 3) у напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях довжиною |а|. Кінець цього шляху і буде шуканою точкою P_a;

3) якщо а = 0, то поставимо у відповідність точку Р₀.

Рис. 2

Рис. 3

Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку Р_а одиничного кола

Якщо а = а₀ + 2k, де k — ціле число, то при повороті на кут а одержуємо ту саму точку, що й при повороті на кут а₀.

Якщо точка Р відповідає числу а, то вона відповідає і всім числам виду а + 2k, де 2 — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k — ціле число, що показує кількість повних обходів кола в тому чи іншому напрямі.

Синусом числа а називають ординату точки Р_а, утвореної поворотом точки Р₀ (1; 0) навколо початку координат на кут а радіан (позначають sin а) (рис. 4). Синус визначено для будь-якого числа а.

Косинусом числа а називають абсцису точки Ра, утвореної поворотом точки Р₀ (1; 0) навколо початку координат на кут а радіан (позначають cos а) (рис. 4). Косинус визначено для будь-якого числа а.

Тангенсом числа а називають відношення синуса числа а до його косинуса tga = .

Рис. 4

Тангенс визначено для всіх а, крім тих значень, для яких cos а = 0, тобто для а = + n, n ∈ Z.

Для розв’язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (рис. 5).

Проведемо дотичну і до одиничного кола в точці Р₀. Нехай а — довільне число, для якого cos а ≠ 0, тоді точка Р_а(cos a; sin а) не лежить на осі ординат і пряма ОР_а перетинає дотичну t у деякій точці Т з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Т_a з ∆ОР₀Т_a:

= tg а, у = tg а.

Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРa і t дорівнює тангенсу числа а. Тому пряму t називають віссю тангенсів.

Рис. 5

Котангенс числа а — це відношення косинуса числа а до його синуса ctga = .

Котангенс визначено для всіх а, крім таких значень, для яких sin a = 0, тобто для а = n, n ∈ Z. Уведемо поняття лінії котангенсів (рис. 6).

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці .

Для довільного числа а, якщо sin а ≠ 0. відповідно точка Р_a (cos a, sin а) не лежить на осі ОХ, тому пряма ОР перетинає пряму q в деякій точці Q_a з ординатою, що дорівнює 1.

Із трикутника ОQ_a маємо: = ctga, звідси х = ctg а. Таким чином, абсциса точки перетину прямих ОР_a і q дорівнює котангенсу числа а, тому пряму q називають віссю котангенсів.

Рис. 6

Нижче наведено табл. 2 значень синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів деяких кутів.

Таблиця 2

Виконайте тест 17

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Виразіть у радіанах кут 300°.

2. Виразіть у градусах кут 0,3.

3. Чому дорівнює кут повороту, показаний на рисунку?

4. Запишіть усі кути повороту, при яких радіус ОА переходить у радіус ОВ.

5. Знайдіть значення виразу cos .

6. Знайдіть значення виразу sin .

7. Знайдіть значення виразу tg .

8. Знайдіть значення виразу ctg .

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний. на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1—4) та їхніми числовими значеннями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Обчисліть 3 cos п - sin + ctg.

11. Обчисліть 2sin - 2 cos + 3tg - ctg.

12. Скільки чисел із проміжку [0; 2] не входять в область допустимих значень х виразу

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.

ГРАЙ ЩОБ ЗАРОБЛЯТИ

Ігри в які можна грати та заробляти крипту не вкладаючи власні кошти