Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ
Тема 18. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ
Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу sin2а + cos2а = 1, а∈R; tga ∙ ctga = l, а ≠ , n ∈ Z;
1 + tg2 а = , а ≠
+
n, n∈Z; l + ctg2a =
, а ≠
n, n∈Z.
Приклад 1. Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = - ,
< a <
.
Розв'язання
Оскільки cos2 a = 1 - sin2 a, то cos =
=
=
=
=
.
Оскільки кут a лежить у III координатній чверті, то cos a < 0.
Отже, cosa = -.
tga = = -
: (-
) =
=
; ctga =
=
.
Відповідь: -;
;
.
Формули додавання
sin(a±) =sinacos
+ cosasin
; cos(a±P) = cosacos
+sinasin
;
tg(a±) =
, a,
, a +
≠
+
n, n ∈ Z.
Формули подвійного кута
sin2a = 2sinacosа; cos2a = cos2 a - sin2 a;
tg2a = , a ≠
+
, a ≠
+
n, n ∈ Z.
Формули пониження степеня
sin2a = ; cos2a =
;
(sina + cosa)2 = 1 + sin2a.
Формули половинного кута
|cos| =
; |sin
| =
; tg
=
=
, a ≠
k, k∈Z;
ctg =
=
, a ≠
k, k∈Z; |tg
| =
, a ≠
k, k∈Z.
Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток
sina + sin = 2sin
cos
; sina - sin
= 2sin
cos
;
cosa + cos = 2cos
cos
; cosa - cos
= 2sin
ins
;
tga + tg =
, a,
≠
+
n, n∈Z; tga — tg
, a,
≠
+
n, n∈Z;
ctga + ctg =
, a,
≠
n, n∈Z; ctga — ctg
, a,
≠
n, n∈Z;
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
sinasin =
(cos(a -
) - cos(a +
)); cos acos
=
(cos(a -
) + cos(a +
));
sinacos =
(sin(а +
) + sin(a -
)).
Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного кута
sina = , a
≠
+
n, n∈Z; cosa =
, a
≠
+
n, n∈Z;
tga = , a
≠
+
n, a≠
+ 2
, n∈Z; ctga =
, a
≠
, n∈Z;
Формули зведення
Кут\ Функція |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
sinx |
cos а |
cosa |
sina |
-sina |
-cosa |
-cosa |
-sina |
sina |
cosx |
sin a |
-sina |
-cosa |
-cosa |
-sina |
sina |
cosa |
cosa |
tgx |
ctg a |
-ctga |
-tga |
tga |
ctga |
-ctga |
-tga |
tga |
ctgx |
tg a |
-tga |
-ctga |
ctga |
tga |
-tga |
-ctga |
ctga |
Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким правилом:
1) у правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < а < ;
2) якщо в лівій частині формули кут дорівнює
a,
a, то синус замінюється на косинус, тангенс— на котангенс і навпаки. Якщо кут дорівнює k ± а, то заміна не виконується.
Розглянемо приклади.
Приклад 2. Виразимо tg( - а) через тригонометричну функцію кута а. Якщо вважати, що а — кут І чверті, то
- а буде кутом ІІ чверті. У II чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута k - а назва функції «тангенс» зберігається. Тому tg (
- а) = - tg а.
За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого числа
можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .
Приклад 3. Знайдіть значення sin .
Маємо: sin = sin(2
+
) = sin
= sin (
-
) = sin
=
.
Виконайте тест 18
Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Знайдіть значення виразу cos а, якщо sin а = 0,6 і < а <
.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-0,8 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
0,8 |
2. Знайдіть значення виразу sin 18° cos 27° + cos 18° sin 27°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
0 |
-1 |
3. Знайдіть значення виразу cos 32° cos 58° - sin 32° sin 58°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
1 |
0 |
-1 |
4. Знайдіть значення виразу cos2 15° - sin2 15°.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
0 |
1 |
5. Спростіть вираз cos (a - ) - cos (a +
).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
2sin a sin |
2sin a cos |
2cos a sin |
2cos a cos |
sin a sin |
6. Знайдіть значення виразу cos.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
- |
1 |
7. Знайдіть значення виразу .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
-1 |
0 |
1 |
8. Спростіть вираз .
A |
Б |
В |
Г |
Д |
tg 2 |
-tg2 |
ctg2 |
- ctg 2 |
1 |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між заданими тригонометричними виразами (1—4) та виразами, що утворилися внаслідок їх спрощення (А—Д).
1 |
А |
tg a |
|
2 |
1 - sin2a + ctg2a + sin2a |
Б |
ctg2a |
3 |
sin4a - cos4a + cos2a |
В |
cos2a |
4 |
Г |
sin2a |
|
Д |
2cos2a |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Обчисліть а - (у градусах), якщо tga =
, tg
=
, а і
— кути І чверті.
11. Спростіть вираз cos(a + ) ∙ cosa + sin(a +
p) ∙ sina. Обчисліть його значення, якщо sina =
. sin
=
; a i
∈ (0;
).
12. Сирость вираз . Обчисліть його значення, якщо a = 22,5°.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.