Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§12. КУТИ У ПРОСТОРІ.

4. Ортогональне проектування.

Окремими випадком паралельного проектування є ортогональне проектування.

Паралельне проектування, напрямок якого перпендикулярний до площини проекції, називають ортогональним проектуванням. Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.

На малюнку 443 трикутник A ₁B ₁С₁ є ортогональною проекцією трикутника ABC.

Важливою є наступна теорема.

Теорема про площу ортогональної проекції. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Нехай ∆АВС ортогонально проектується на площину α, що проходить через сторону АВ цього трикутника (мал. 444). Маємо ∆АВС₁ — ортогональну проекцію ∆АВС, СС ₁ α. Проведемо С ₁К АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри, матимемо СК АВ. Тому CKC₁ = φ - кут між площиною ∆АВС і площиною α. З розглянутої теореми матимемо

Приклад. Ортогональною проекцією трикутника АВС на площину α є прямокутний трикутник А₁В₁С₁ з катетами 2 см і 3 см (мал. 443). Знайти площу трикутника АВС, якщо кут між площинами АВС і А₁В ₁С₁ дорівнює 30°.

Розв’язання.

2) Оскільки - кут між площинами АВС і А₁В₁С₁ , то