Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§33. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ. ГОМОТЕТІЯ.

4. Гомотетія.

Гомотетією з центром в точці О і коефіцієнтом k називають таке геометричне перетворення, яке переводить довільну точку X фігури F у точку X' фігури F' так, що ОХ' = |k| ∙ ОХ, причому коли k > 0, то точки X і X' належать одному променю з початком у точці О, а якщо k < 0, то точки X і X' належать двом доповняльним променям з початком у точці О (мал. 331 і мал. 332).

Фігури F і F' при цьому називають гомотетичними. На малюнку 331 коефіцієнт гомотетії k > 0, а на малюнку 332 коефіцієнт k < 0.

Розглянемо основні властивості гомотетії.

1) Гомотетія з коефіцієнтом k = 1 переводить фігуру саму в себе.

2) Гомотетія з коефіцієнтом k = -1 і центром гомотетії О є симетрією відносно точки О.

3) Гомотетія є перетворенням подібності.

4) Гомотетія з коефіцієнтом к є перетворенням подібності з коефіцієнтом lkl.

Приклад 1. Гомотетія з коефіцієнтом k = -2 переводить ∆АВС в ∆А'В'С'. Знайдіть сторони трикутника А’В’С', якщо АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 4 см.

Розв’язання. Оскільки гомотетія з коефіцієнтом k = -2 є перетворенням подібності з коефіцієнтом

Отже,

Приклад 2. Гомотетія з центром у початку координат переводить точку А(-2; 3) у точку А'(-6;9). Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

Розв’язання. 1) Оскільки точки А і А' лежать в одній чверті, то вони належать одному променю з початком у початку координат. Тому, шуканий коефіцієнт k > 0.

2) k = OA'/OA, де точка О - початок координат, і є центром гомотетії.