Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§26. ФОРМУЛИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ.

5. Формули для обчислення площі трапеції.

Площа трапеції S (мал. 285 і мал. 286) обчислюється за такими формулами (а і b - основи трапеції, h - її висота):

Приклад 1. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагональ якої дорівнює 4 см, а кут між діагоналями дорівнює 30°.

Розв’язання. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні d ₁ = d ₂ = 4 (см). Тоді площа трапеції

Приклад 2. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 20 см, а центр описаного кола належить більшій основі. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язання. 1) Трапеція АВСD вписана в коло так, що АD - діаметр кола (мал. 287). АD = 20 см; ВС = 12 см.

3) Тоді КD = АD - АК = 20 - 4 = 16 (см).

4) ABD = 90° (як такий, що спирається на діаметр). Тоді за властивістю пропорційних відрізків прямокутного трикутника:

5) Площа трапеції

Приклад 3. Навколо кола описано прямокутну трапецію з гострим кутом 30°. Знайдіть площу трапеції, якщо її периметр дорівнює 24 см.

Розв’язання. 1) Оскільки трапеція є описаним чотирикутником, то

2) Нехай ВК = АD = h — висота трапеції.

3) В ∆ВСК : ВС = 2 ∙ ВК = 2h (за властивістю катета, що лежить проти кута 30°).

4) Маємо h + 2h = 12; 3h = 12; h = 4 (см).

5) Тоді площа трапеції

Приклад 4. Довжини паралельних сторін трапеції дорівнюють 25 см і см, а довжини паралельних - 20 і 13 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язання. 1) На малюнку 289 зображено трапецію АВСD, у якої DС = 25 см; АD = 13 см, ВС = 20 см. Оскільки ВС - більша бічна сторона, то ВСD - гострий, АDС може бути як гострим, так і тупим. Метод розв’язування задачі, що пропонується, підходить для обох випадків. На малюнку 289 АDС - гострий.

2) Проведемо АЕ || ВС і АК – висоту трапеції і ∆АЕD. Оскільки АВСD - паралелограм, то АЕ = ВС = 20 см; ЕС = АВ = 4 см. Маємо DЕ = DС - ЕС = 25 - 4 = 21 (см).

3) Знайдемо площу ∆АDЕ за формулою Герона:

4) 3 іншого боку

5) Тоді площа трапеції