Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§21. КВАДРАТ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ОЗНАКИ КВАДРАТА.

1. Означення квадрата та його властивості.

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні (мал. 251).

Сформулюємо властивості квадрата:

1) Усі кути квадрата прямі.

2) P_ABCD = 4 ∙ AВ (мал. 251).

3) Діагоналі квадрата рівні.

На малюнку 252: АС = BD.

4) Діагоналі квадрата перпендикулярні і точкою перетину діляться пополам.

На малюнку 252: АС BD і АО = ВО = CO = DO (враховуючи властивість 3).

5) Діагоналі квадрата ділять його кути пополам, тобто утворюють зі сторонами квадрата кути 45°.

Приклад 1. Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від його сторони на 5 см. Знайдіть периметр квадрата.

Розв’язання. 1) Нехай точка О - точка перетину діагоналей квадрата ABCD (мал. 253). OK AD, OK = 5 см - відстань від точки О до сторони квадрата AD.

2) ОК - висота рівнобедреного трикутника AOD (у якого АО = OD), тому вона також медіана і бісектриса.

3) Оскільки то ∆АОК - рівнобедрений АК = КО = 5 см. Аналогічно KD = 5 см.

4) Сторона ромба АD = 5 ∙ 2 = 10 (см), його периметр Р = 10 ∙ 4 = 40 (см).

Приклад 2. У рівнобедрений прямокутний трикутник АВС ( C = 90°) вписано квадрат CMNK так, що прямий кут у трикутника і квадрата спільний, а точка N належить АВ. Периметр квадрата дорівнює 40 см. Знайдіть довжину катета трикутника.

Розв’язання. 1) На малюнку 254 квадрат СМNК вписано у ∆АВС вказаним способом.

3) A = 45°. В ∆AMN: ANM = 90° - 45° = 45°. Тому ∆AMN - рівнобедрений і AM = MN = 10 (см).

4) Тоді катет трикутника АС = СМ + МА = 10 + 10 = 20 (см).