Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§17. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ.

5. Похідна складної функції.

Приклад 1. Нехай необхідно обчислити значення функції у точці х = 4. Природно це роблять наступним чином:

1) спочатку обчислюють значення виразу 2х + 1, якщо х = 4, а саме 2 ∙ 4 + 1 = 9;

2) потім з отриманого числа 9 здобувають арифметичний квадратний корінь, маємо = 3. Отже, f(9) = 3.

Якщо позначити u(х) = 2х + 1, а g(u) = , то можна записати f(х) = g(u(x)).

Кажуть, що f(x) є складеною функцією, u(х) - внутрішня функція f (або проміжний аргумент).

Далі подамо правила обчислення похідної складеної функції.

Якщо функція u(х) має похідну в точці х, а функція f(u) має похідну в точці u = u(х), то складена функція у = f(u(x)) має похідну в точці х, причому

Приклад 2. Знайдіть похідну функції

Розв’язання. Маємо складену функцію

Тоді

Приклад 3. Знайдіть у' = π/4, якщо у = sin² x.

Розв’язання. у = sin² х, тобто у = u² , де u = sin x. Тоді

Маємо

Приклад 4. Знайдіть похідну функції

Розв’язання. Знайдемо спочатку похідні функції i

Тоді

Тоді

Отже,