Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§14. АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ.

4. Сума n перших членів арифметичної прогресії.

Позначимо через S_n суму перших n членів арифметичної прогресії:

Цю суму можна знайти за формулою

Якщо у дану формулу замість а _n підставити вираз а ₁ + d(n - 1), то дістанемо ще одну формулу для обчислення

Цією формулою зручно користуватись, якщо відомий перший член і різниця прогресії.

Приклад 1. Знайдіть суму перших дванадцяти членів послідовності (а _n), заданої формулою а _n = -3n + 5.

Розв’язання. Дана послідовність є арифметичною прогресією, бо її задано формулою а _n = dn + b, де d = -3, b = 5 (див. властивість 5 попереднього пункту цього параграфа). Маємо а ₁ = -3 ∙ 1 + 5 = 2, а₁₂ = -3 ∙ 12 + 5 = -31. Знайдемо S _І2 за формулою

Приклад 2. Знайдіть суму тридцяти перших членів арифметичної прогресії (а _n), якщо а₃ = 5; а₇ = -3.

Розв’язання. Оскільки а₃ = а ₁ + 2d, то маємо 5 = а ₁ + 2d.

Аналогічно а₇ = а ₁ + 6d; -3 = а ₁+ 6d. Отримали систему рівнянь

Тоді а ₁= 5 + 4 ; а ₁ = 9. Знайдемо суму S ₃₀ за формулою

Приклад 3. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, кратних 8, які не більше за 300.

Розв’язання. Натуральні числа, кратні 8, утворюють арифметичну прогресію: 8; 16; 24; 32; 40 ... Цю прогресію можна задати формулою а _n = 8n. Знайдемо кількість членів цієї прогресії, виходячи з умови а_п ≤ 300. Маємо

S_n ≤ 300,

n = 37,5.

Отже, кількість членів прогресії, суму яких треба знайти, дорівнює 37. Маємо а ₁ = 8; а₃₇ = 8 ∙ 37 = 296. Тоді: