Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Квадратні рівняння
§ 26. Розв’язування задач за допомогою дробових раціональних рівнянь

966. Нехай перше натуральне число — х, тоді друге — х + 2. Оберненим до першого числа буде а до другого — Рівняння: х = -1,2 не задовольняє умову задачі. Тому х = 4. Отже, одне натуральне число дорівнює 4, а інше — 4 + 2 = 6.

Відповідь. 4 і 6.

967. Нехай перше натуральне число —х, тоді друте — (20 - х). Оберненим до першого числа буде а до другого — Рівняння:

Якщо одне число дорівнює 8, то інше — 20 - 8 = 12; якщо одне число дорівнює 12, то інше — 20 - 12 = 8. Отже, одне натуральне число дорівнює 8, а інше— 12.

Відповідь. 8 і 12.

968. Нехай х — чисельник звичайного нескоротного дробу, тоді його знаменник дорівнює х+ 1, а заданий дріб — Після зміни чисельник дорівнюватиме (x - 7), знаменник— (х +1) — 5 = x - 4, а новий дріб — Рівняння: Якщо чисельник дробу дорівнює -2, то його знаменник— -2 + 1 =- 1, а дріб —

Оскільки початковий дріб має бути нескоротним, то це значення не задовольняє умову задачі. Якщо ж чисельник дробу дорівнює 9, то його знаменник — 9 + 1 = 10, а дріб —

Відповідь.

969. Нехай х — чисельник звичайного нескоротного дробу, тоді його знаменник дорівнює х + 5, а заданий дріб — Після зміни чисельник дорівнюватиме (х + 4), знаменник — (х + 5) + 6 = х + 11, а новий дріб — Рівняння:

Якщо чисельник дробу дорівнює -25, то його знаменник 25 + 5 = -20, а дріб — Оскільки початковий дріб має бути нескоротним, то це значення не задовольняє умову задачі. Якщо ж чисельник дорівнює 1, то його знаменник — 1 + 5 = 6, а дріб —

Відповідь.

970. Нехай швидкість другого велосипедиста дорівнює х км/год, тоді швидкість першого — (х +4) км/год. Тоді весь шлях завдовжки 48 км перший велосипедист подолав заа другий — заРівняння: Значення х₁ = -16 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість другого велосипедиста дорівнює 12 км/год, тоді швидкість першого — 12 + 4 = 16 (км/год).

Відповідь. 16 км/год, 12 км/год.

971. Нехай швидкість другого легковика дорівнює х км/год, тоді швидкість першого — (х + 10) км/год. Тоді весь шлях завдовжки 420 км перший легковик подолав за а другий — за Рівняння: Значення х₁ = -70 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість другого легковика дорівнює 60 км/год, тоді швидкість першого — 60 + 10 = 70 (км/год).

Відповідь. 70 км/год, 60 км/год.

972. Нехай швидкість потяга за розкладом дорівнює х км/год, тоді фактична швидкість потяга на перегоні дорівнює (х + 5) км/год. Тоді весь шлях завдовжки

300 км потяг мав подолати за але затратив реально

Рівняння:

Значення х₁ = -50 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість потяга за розкладом дорівнює 45 км/год.

Відповідь. 45 км/год.

973. Нехай швидкість автомобіля до зупинки дорівнювала х км/год, тоді після зупинки — (х + 10) км/год. До зупинки він проїхавшляху, тобто затративши на цей відрізок шляху. Після зупинки він проїхав 810 - 450 = 360 (км) і витратив на цей відрізок шляху Рівняння: Значення х₁ = -90 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість автомобіля до зупинки дорівнювала 80 км/год.

Відповідь. 80 км/год.

974. Нехай швидкість потяга до зупинки дорівнювала х км/год, тоді після зупинки — (х - 10) км/год. До зупинки він проїхавшляху, тобтозатративши на цей відрізок шляхуПісля зупинки він проїхав 320 - 120 = 200 (км) і витратив на цей відрізок шляху Рівняння: Значення не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість потяга до зупинки дорівнювала 60 км/год.

Відповідь. 60 км/год.

975. Нехай швидкість течії річки дорівнює х км/год, тоді швидкість човна за течією річки — (18 + х) км/год, а проти течії — (18 - х) км/год. Човен пропливе частину маршруту за течією річки заа проти течії —Рівняння:

Значення х₁ = 6 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Відповідь. 2 км/год.

976. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією річки — (х + 2) км/год, а проти течії — (х - 2) км/год. Увесь шлях човна туди й назад становить 48 • 2 = 96 (км), і човен поогіливе його за 7 год. Човен проплив частину маршруту за течією річки заа проти течії — Рівняння: Значення не задовольняє умову задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 14 км/год.

Відповідь. 14 км/год.

977. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією річки — (х + 3) км/год, а проти течії — (х - 3) км/год. Човен проплив 18 км за течією річки за28 км проти течії — заа 48 км у стоячій воді — за

Рівняння: Значення х₁ = -9 не задовольняє умову задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 24 км/год.

Відповідь. 24 км/год.

978. Нехай швидкість течії річки, а отже, і плота дорівнює х км/год, тоді швидкість катера за течією річки — (18 + х) км/год, а проти течії — (18 - х) км/год. Катер пропливе 30 км за течією річки за, 8 км проти течії — заа пліт 4 км — заРівняння:

Значення х₂ = 36 не задовольняє умову задачі, бо швидкість катера 18 км/год. Отже, швидкість течії річки дорівнює 2 км/год.

Відповідь. 2 км/год.

979. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість проти течії річки — (х - 2) км/год. Човен проплив 40 км по озеру заа 18 км проти течії річки — заРівняння: Значення не задовольняє умову задачі. Отже, власна швидкість моторного човна дорівнює 20 км/год.

Відповідь. 20 км/год.

980. Нехай за 1 день друга бригада асфальтувала х м² дорожнього полотна, тоді перша — (ч +10) м². На виконання усієї роботиперша бригада затратила а друга —Рівняння:

Значення х₁ = -50 не задовольняє умову задачі. Отже, за день перша бригада асфальтувала 40 + 10 = 50 (м²), а друга — 40 м² дорожнього полотна.

Відповідь. 50 м², 40 м².

981. Нехай для перевезення спочатку потрібно було х вантажівок, кожна з яких мала перевезтивантажу. Але фактично завантажили (х - 3) вантажівки, кожна з яких перевозилавантажу, що на 1т більше, ніж планувалося, тобто

Рівняння: Значення х₁ = -12 не задовольняє умову задачі. Отже, для перевезення вантажу було використано 15 - 3 = 12 (вантажівок). Відповідь. 12 вантажівок.

982. Нехай усе замовлення учень може виконати за х год, тоді майстер — за (х - 24) год. Приймемо всю роботу за 1. Тоді за 1 год майстер виконаєчастину роботи, а учень —частину роботи. Працюючи разом, за 1 год вони разом виконаютьчастину роботи, а за 16 год —частину роботи. Рівняння: Значення х₁ = 8 не задовольняє умову задачі. Отже, майстер може виконати все завдання за 48 - 24 = 24 (год), а учень — за 48 год.

Відповідь. 24 год, 48 год.

983. Нехай усю роботу перший маляр може виконати за х год, тоді другий маляр — за (х - 9) год. Приймемо всю роботу за 1. Тоді за 1 год перший маляр виконаєчастину роботи, а другий —частину роботи. Працюючи разом, за 1 год вони разом виконаютьчастину роботи, а за 20 год — частину роботи. Рівняння: Значення х₁ = 4 не задовольняє умову задачі. Отже, перший маляр може виконати все завдання за 45 год, а другий — за 45 - 9 = 36 (год).

Відповідь. 45 год, 36 год.

984. Нехай другий кран може наповнити весь басейн, працюючи окремо, за х хв, тоді перший — за (ч + 9) хв. За 1 хв перший кран наповнюєчастину басейну, а другий —частину. Спочатку через відкритий перший кран упродовж 9 хв наповниличастину басейну, а потім обидва крани за 6 хв заповнили частину басейну. Нехай увесь басейн— це 1, тоді його половина —

Рівняння: Значення х₁ = -3 не задовольняє умову задачі. Отже, перший кран, працюючи окремо, може заповнити басейн за 36 + 9 = 45 (хв), а другий — за 36 хв.

Відповідь. 36 хв, 45 хв.

985. Нехай перший оператор може набрати весь рукопис за х днів, тоді другий — за (х +12) днів. За один день перший оператор набере частину рукопису, а другий —частину. За один день спільної роботи вони виконали частину роботи, а за 10 днів—частину роботи. Позначимо всю роботу через 1. Рівняння: Значення х₁ = -5,6 не задовольняє умову задачі. Отже, перший оператор, працюючи окремо, може набрати рукопис за 30 днів, а другий — за 30 + 12= 42 (дні).

Відповідь. 30 днів, 42 дні.

986. Нехай пішохід ішов із села А в село В зі швидкістю х км/год, тоді він пройшов 4х км. Повертаючись назад, він пройшов 10 км з такою самою швидкістю, витративши на цеПісля цього пішохід зменшив швидкість на 1 км/год і тому вона стала дорівнювати (х - 1) км/год. З цією швидкістю він пройшов решту шляху — (4х - 10) км, затратившиОскільки він затратив на зворотний шлях набільше, то всього йшов у зворотному напрямку

Рівняння: Якщо х = 4, то відстань між селами дорівнює 4 • 4=16(км), якщо де = 5, то відстань між селами дорівнює 4 • 5 = 20 (км).

Відповідь. 16 км або 20 км.

987. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією річки дорівнює (х + 3) км/год, а проти течії річки — (х - 3) км/год. За 3 год за течією річки зі швидкістю (хе + 3) км/год він подолає 3(х + 3) км. Проти течії річки зі швидкістю (х - 3) км/год він подолає (3(х + 3) -10) км. Відстань (3(х + 3) - 30) км за течією річки човен подолає заа проти течії — заРівняння:

Значення х₁ = 1 не задовольняє умову задачі. Отже, власна швидкість човна дорівнює 27 км/год.

Відповідь. 27 км/год.

988. Якщо після всіх переливань кислоти стало втричі менше, ніж води, то у суміші води булоа чистої кислоти — 1,5 (л). Нехай першого разу відлили х л кислоти, тому після цього долили х л води. За другий раз відлили води і долили знову х л води. Рівняння: 12х — х² - 27 = 0; х²- 12х + 27 = 0; х₁ =9 — не задовольняє умову задачі, х₂ = 3. Отже, спочатку відлили 3 л кислоти.

Відповідь. Спочатку використали 3 л кислоти.

989.

1) 2х⁴ + 3х² - 5 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 2у² + 3у - 5 = 0; у₁ = 1, у₂ = -2,5. Повертаємося до заміни: 1) y₁ = 1; х² = 1; х₁,₂ = ±1; 2) у₂ = -2,5; x² =-2,5 — рівняння не має розв’язків. Отже, коренями вихідного рівняння є -1 і 1;

2) х = -6.

990.

1)

991.

1) .Зробимо замінух > 0. Маємо: у² - 2у - 8 = 0; у₁ = 4, у₂ = -2. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 4; x₁ = 16; б) у₂ = -2; х² = -2 — рівняння не має коренів. Отже, коренем вихідного рівняння є число x₁ = 16;

2) (х + 7)⁴ - 5(х + 7)² - 6 = 0. Зробимо заміну (х +7)² = у. Маємо: у²- 5у - 6 = 0; y₁ = 6, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: 1)у₁ = 6; (х +1)² = 6; 2) у₂ = -1; (х + 7)² = -1 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа

992.

1) Якщо х > 0, то

2) якщо х < 0, то