Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Квадратні рівняння
§ 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

930. Біквадратними є рівняння 2), 4) і 6).

931. Біквадратними є рівняння 3), 5) і 6).

932.

1) х⁴ - 5х² + 4 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 5у + 4 = 0; у₁ = 1, у₂ = 4. Повертаємося до заміни: 1)у₁ = 1; х² = 1; x_1,2 = ±1; 2) у₂ = 4; х² = 4; х_3,4 = ±2. Отже, коренями вихідного рівняння є -2; -1; 1; 2;

2) х⁴ - 9х² + 8 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 9у + 8 = 0; у₁ = 1, у₂ = 8. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 1; х² = 1; x_1,2 = ±1; 2) у₂ = 8; х² = 8; Отже, коренями вихідного рівняння є -1; 1;

3) х⁴ - 2х² - 8 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 2у - 8 = 0; у₁ = 4, у₂ = -2. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 4; х² = 4; x_{1, 2} = ±2; 2) у₂ = -2; х² = -2 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є -2; 2;

4) 2х⁴ - х² - 6 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 2у² — у - 6 = 0; у₁ = 2, у₂ = -1,5. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 2; х² = 2; 2) y₂ = -1,5; х² = -1,5 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є

5) х⁴ + 5x² + 4 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² + 5у + 4 = 0; y₁ = -1, у₂ = -4. Повертаємося до заміни: 1) у₁ =-1; х² = -1 — рівняння не має коренів; 2) у₂ = -4; х² = -4 — рівняння не має коренів. Отже, вихідне рівняння коренів не має;

6) 9х⁴ - 6х² + 1 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 9y² - 6у + 1=0; (3у - 1 )² = 0; 3у - 1 = 0; Повертаємося до заміни: Отже, коренями вихідного рівняння є

933.

1) х⁴ - 17х² + 16 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у²- 17у + 16 = 0; у₁ = 1, у₂ = 16. Повертаємося до заміни: 1)у₁ = 1; х² = 1; x₁, ₂ = ±1; 2) у₂ = 16; х² = 16; х₃,4 = ±4. Отже, коренями вихідного рівняння є -4; -1; 1; 4;

2) х⁴ - 6х² + 8 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 6у + 8 = 0; у₁, = 4, у₂ = 2. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 4; х² = 4; х_1,2 = ±2; 2) у₂ = 2; х² = 2; Отже, коренями вихідного рівняння є -2; 2;

3) х +2х² — 15 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у + 2у - 15 = 0; у₁ = 3, у₂ = -5. Повертаємося до заміни: 1) у₁ =3; х² = 3; 2) у₂ = -5; х² = -5 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є

4) 3х⁴ - 2х² - 8 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 3у² - 2у - 8 = 0; у₁ = 2, Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 2; х² = 2; 2) — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є

5) х⁴ + 10х² + 9 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² + 10у + 9 = 0; у₁ = -1, у₂ = -9. Повертаємося до заміни: 1)y₁ = -1; х² = -1 — рівняння не має коренів; 2) у₂ = -9; x² = -9 — рівняння не має коренів. Отже, вихідне рівняння коренів не має;

6) 25х⁴ - 10х² + 1 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: 25у² - 10у + 1 = 0; (5у - 1)² = 0; 5у — 1 = 0; у = 0,2. Повертаємося до заміни: у = 0,2; х² = 0,2; Отже, коренями вихідного рівняння є

934.

1) х₁ = -1, x₂ = 2;

2) х = -3.

935.

1) х₁, = -3, х₂ = 1;

2) х = 4.

936.

1) x₁ = 0, х₂ = 1;

2) х = -2;

3) х₁ = -3,5, х₂ = 2;

4) х = -5.

937.

1) x₁ = 0, x₂ = 3;

2) x = 3

3) x₂ = 2;

4) x = -4.

938.

1) x₁ = -1, x₂ = 9;

2) x₁ = -9, x₂ = 2;

3) x₁ = -2, x₂ = 5;

4) x₁ = -2,

939.

1) x₁ = -1, x₂ = 4;

2) x₁ = -0,5, x₂ = 1;

3) x₁ = 1, x₂ = 3;

4) x₁ = -1,5, x₂ = 2.

940.

1) х - 4х = 0; x(x² - 4) = 0; х(х - 2)(х + 2) = 0; х₁ = -2, х₂ = 0, х₃ = 2;

2) х³ + 9х = 0; х(х² + 9) = 0; х = 0;

3) 4x⁴ - x² = 0; х²(4х² - 1) = 0; х²(2х - 1 )(2х + 1) = 0; x = 0, 2х - 1=0, 2х + 1=0; x = 0, 2х = 1, 2х = -1; x₁ = -0,5, х₂=- 0, х₃ = 0,5;

4) x³ + x² — 6x = 0; х(х² + х - 6) = 0; x₁ = -3, х₂ = 0, x₃ = 2.

941.

1) x³ - 9х = 0; х(х² - 9) = 0; х(х - 3)(x + 3) = 0; x₁ = -3, x₂ = 0. x₃ = 3;

2) х³ + 4х = 0; х(х² + 4) = 0; x = 0;

3) 16х⁴ - х² = 0; x²(16x² - 1) = 0; x²(4x - 1)(4x + 1) = 0; x = 0, 4х — 1 = 0, 4х + 1 =0; х = 0, 4х = 1, 4х = -1; x₁ = -0,25, х₂ = 0, х₃ = 0,25;

4) х³ + x² - 12х = 0; x(x² + х - 12) = 0; x₁ = -4, x₂ = 0, x₃ = 3.

942.

1) x₁ =-5, x₂ = 4;

2) x₁ = 1; x₂ = 4.

943.

1) x₁ = -4, x₂ = 3;

2) x₁ = 2, x₂ = 6.

944.

1) Розкладемо квадратний тричлен х⁴ - 10х² + 9 на прості множники; для цього розв’яжемо рівняння х⁴ — 10x² + 9 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 10у + 9 = 0; y₁ = 1, у₂ = 9. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 1; х² = 1; x_1,2 = ±1; 2) y₂ = 9; x² = 9; х_3,4 = ±3. Отже, коренями вихідного рівняння є -3; -1; 1; 3. Тоді х⁴ - 10х² + 9 = (х + 3)(х + 1)(x - 1)(х - 3). Тоді одержимо: x₂ = -1, x₃ = 3, x₄ = 3, x₁ = -1,х₂ = 1, x₃ =3;

2) х₁ =- 6;

3) х₁ = -7;

4) Рівняння не має коренів.

945.

1) Розкладемо квадратний тричлен х⁴ + х² - 2 на прості множники; для цього розв’яжемо рівняння х⁴ + x² - 2 = 0. Зробимо заміну х²= у. Маємо: у² + у - 2 = 0; у₁ = 1 , у₂ =-2. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 1;х² = 1; х_1,2 = ±1; 2) у₂ = -2; х² = -2 —рівняння не має розв’язків. Отже, коренями вихідного рівняння є -1; 1. Тоді х⁴ + х² - 2 = (х + 1 )(х - 1). Тоді одержимо: х = 1;

2)

x₁ = -3;

3) x₁ =7;

4)

Рівняння не мае коренів.

946.

1) х₁ = -6, х₂ = 3;

2)

3)

x₁ = -3;

4) x₁ = -2.

947.

1) x₁ = -4, x₂ = 3;

2) x₁ = -2.

948.

1)

x₁ = -5,5, x₂ = -1;

2)

х₁ = -7;

3) x₁ = -9;

4)

Рівняння не має коренів.

949.

1) х₁ = -3,6, х₂ = 5;

2) x₁ = -1;

3) x₁ = -15;

4) рівняння не має коренів.

950.

1) Отже, якщо х = -3 або х = 4, то сума дробів

і дорівнює їх добутку;

2) Отже, якщо х = 15, то сума дробів i дорівнює їх частці.

951.

1) х³ — 2x² - 9х + 18 = 0; х(х - 2) - 9(х - 2) = 0; (x - 9)(х - 2) = 0; (х - 3)(х + 3)(х - 2) = 0; x₁ = -3, х₂ = 3, х₃ = 2;

2) 3х³ + 3х² - 4х - 4 = 0; 3х²(х + 1) - 4(х + 1) = 0; (3х² - 4)(х + 1) = 0; х₃ = - 1.

952.

1) х³ - х² - 4х + 4 = 0; х²(х - 1) - 4(х - 1) = 0;(х² - 4)(х - 1) = 0;

(х - 2)(х + 2)(х - 1) = 0; x₁ = -2, х₂ = 2, х₃ = 1;

2) 4х³ + 8х² - 3х - 6 = 0; 4х²(х + 2) - 3(х + 2) = 0; (4х² - 3)(х + 2) = 0; х₃ = -2.

953.

1) (х²+ 3)²— 3(x² + 3) - 4 = 0. Зробимо заміну х² + 3 = у. Маємо: у² - 3у — 4 = 0; y₁ = 4, у₂= -1. Повертаємося до заміни: 1) y₁ =4; х² + 3 = 4; х² = 1; х_{1,2 =} ±1; 2) у₂ = -1; х² + 3 = -1; х² = -4 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₁ = -1, х₂ = 1;

2) (х² - х)² + 2(x² - х) - 8 = 0. Зробимо заміну х² — х = у. Маємо: у² + 2у - 8 = 0; у₁ = 2, у₂ = -4. Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 2; x² - x = 2; x² - x - 2 = 0; x₁ = -1, x₂ = 2; 2) у₂ = -4; х² - х = -4; х² -х + 4 = 0 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₁ = -1, x₂ = 2.

954.

1) (х² + 2)² - 2(х²+ 2) - 3 = 0. Зробимо заміну х² + 2 = у. Маємо: у² - 2у - 3 = 0; y₁ = 3, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: 1)y₁ = 3; х² + 2 = 3; х² = 1; x_{1, 2} = ±1; 2)у₂ = -1; х² + 2 = -1; х²= -3 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа х₁ = -1, х₂ = 1;

2) (x² + х)² — 5(x² + х) - 6 = 0. Зробимо заміну х² + х = у. Маємо: у² - 5у - 6 = 0; у₁ = 6, y_{2 =} ^-1- Повертаємося до заміни: 1) у₁ = 6; х² + х = 6; х² + х - 6 = 0; х₁ = -3, x₂ = 2; 2) у₂ = -1; х² + х = -1; x² + х+ 1 = 0— рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа х₁ = -3, х₂ = 2.

955.

1) x₁ = 0, х₂= 1,5;

2)

956.

957.

1) x⁵ + x⁴ — 6x³ — 6x² + 5x + 5 = 0; x⁴(x + 1) - 6х²(х + 1) + 5(х + 1) = 0; (х⁴ - 6х² + 5)(х + 1) = 0. 1) х⁴ - 6х² + 5 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 6у + 5 = 0; у₁ = 5,у₂ = 1. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 5; х² = 5; б) y ₂= 1; х² = 1 ; х_3,4 = ±1. Коренями тричлена є числа х₃.₄ = ±1; 2) х + 1 = 0; х = -1. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x_3,4 = ±1;

2) х³ + 2х² - 2х - 1 = 0;(х³ - 1) + 2х(х - 1) = 0; (х - 1)(х² + х + 1) + 2x(x - 1) = 0; (х -1)(х²+х + 1 + 2х) = 0; (х - 1)(х² + 3х + 1) = 0. 1)х - 1 = 0; х = 1; 2) х² + 3х + 1 = 0; Отже, коренями вихідного рівняння є x₃= 1.

958.

1) х⁵ - х⁴ - 2х³ + 2х² - 3х + 3 = 0; х⁴(х - 1) - 2х²(х - 1) - 3(х - 1) = 0; (х⁴ - 2х² - 3)(х - 1) = 0. 1) х⁴ - 2х² - 3 = 0. Зробимо заміну х² = у. Маємо: у² - 2у - 3 = 0; у₁ = 3, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: а)у₁ = 3; х² = 3; б) у₂ = -1; х² = -1 — рівняння не має розв’язків. Коренями тричлена є числа2) х - 1 = 0; х = 1. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₃ = 1;

2) х³ - 3х² - 6х + 8 = 0; (х³ + 8) - 3х(х + 2) = 0; (х +2)(x² - 2х + 4) - 3х(х + 2) = 0; (х + 2)(х² - 2х + 4 - 3х) = 0;(х + 2)(х² - 5х + 4) = 0. 1) х + 2 = 0; х = -2; 2) х² - 5х + 4 = 0; х₂ = 1, х₃ = 4. Отже, коренями вихідного рівняння є числа х₁ = -2: х₂ = 1, x₃ = 4.

959.

1) Зробимо заміну х ≥ 0. Маємо: у² - у - 6 = 0; у₁ = 3, у₂ = -2. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 3; х₁ = 9; б) у₂ = -2; х² = -2 — рівняння не має коренів. Отже, коренем вихідного рівняння є число x₁ = 9;

2) (х² + 2х - 2)(х² + 2х - 4) = 8. Зробимо заміну х² + 2х =у, х ≥ 0. Маємо: (у - 2)(у - 4) = 8; у² - 4у - 2у + 8 = 8; у² - 6у = 0; у(y - 6) = 0; у₁ = 0, у₂ = 6. Повертаємося до заміни: a) y₁ = 0; х² + 2х = 0; х(х + 2) = 0; x₁ = 0, х₂ = -2; б) у₂ = 6; х² + 2х = 6; х² + 2х - 6 = 0 Отже, коренями вихідного рівняння є числа х₁ = 0, х₂ = -2,

3) (x - 2)⁴ - 2 (x - 2)² - 3 = 0. Зробимо заміну (x - 2)² = у. Маємо: у² - 2у - 3 = 0; у₁ = 3, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: а)у₁ = 3; (x - 2)² = 3; б)у₂ = -1; (x - 2)² = -1 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа

4) (x² + x + 1 )²- 8x² - 8x - 1 = 0; ((x² + x) + 1 )² - 8(x² + x) - 1 = 0. Зробимо заміну x² + x = у. Маємо: (у + 1)² - 8у - 1 = 0; y² + 2у + 1 — 8 у- 1 = 0; у² - 6у = 0; у(у - 6) = 0; у₁ = 0, у₂ = 6. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 0; x² + x = 0; x(x + 1) = 0; x₁ = 0, x₂ = -1; б) у₂ = 6; x² + x - 6 = 0; x₃ = -3, x₄ = 2. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₁ = 0, x₂ = -1; x₃ = -3, x₄ = 2.

960.

1) Зробимо замінуде ≥ 0. Маємо: у² + 2у - 8 = 0; у₁ = 2,у₂ = -4. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 2; x = 4; б) у₂ = -4; x² = -4 — рівняння не має коренів. Отже, коренем вихідного рівняння є число x₁ = 4;

2) (x² - 2х — 1)(x² — 2x - 3) = 3. Зробимо заміну x² — 2x = у. Маємо: (у - 1)(у - 3) = 3; у² - 3у - у + 3 = 3; у² - 4у = 0; у(у - 4) = 0; у₁ =0, у₂ = 4. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 0; x² — 2x = 0; x(x - 2) = 0; x₁ = 0, x₂ = 2; б) у₂= 4; x² — 2x = 4; x² — 2x - 4 = 0;Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₁ = 0, x₂ = 2;

3) (x + 1)⁴ - 5(x + 1)² - 6 = 0. Зробимо заміну (x + 1)² = у. Маємо: у² - 5у - 6 = 0; у₁ = 6, у₂ = -1. Повертаємося до заміни: а) y₁ = 6; (x + 1 )² = 6; б) у₂ = -1; (x+ 1)² = -1 — рівняння не має коренів. Отже, коренями вихідного рівняння є числа

4) (x² — x - 1)² — 4x² + 4x - 1 = 0; ((x² - x) - 1 )²- 4(x² - x) - 1 = 0. Зробимо заміну x² - x - у. Маємо: (у - 1)² - 4у - 1 = 0; у² - 2у + 1 - 4у - 1 = 0; y² - 6у = 0; у(у - 6) = 0; у₁ = 0, у₂ = 6. Повертаємося до заміни: а) у₁ = 0; x² - xе = 0; x(x - 1) = 0; x₁ = 0, x₂ = 1; б) у₂ = 6; x² - x = 6; x² — x - 6 = 0; x₃ = 3, x₄ = -2. Отже, коренями вихідного рівняння є числа x₁ = 0, x₂ = 1; x₃ = 3, x₄ = -2.

961. Якщо -7 і— корені квадратного тричлена, то

962. Нехай x і у— задані числа. Система:

Відповідь. 12 і 15.

963.

964. Нехай швидкість другого велосипедиста дорівнює х км/год, тоді швидкість першого — (х + 4) км/год. За 3 год перший велосипедист проїхав 3(х + 4) км, а другий— 3х км. Рівняння: 3(x + 4) + 3x = 84; 3х + 12 + 3х - 84 = 0; 6х - 72 = 0; 6х = 72; х = 12 (км/год). Отже, швидкість першого велосипедиста дорівнює 12 + 4 = 16 (км/год), а другого — 12 км/год.

Відповідь. 16 км/год; 12 км/год.

965. 4(у - х) = 3 • 2х; 4у - 4х = 6х; 4у = 10х; у = 2,5х. Отже, число у більше за число х у 2,5 разу.

Відповідь. 2,5 разу.